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1、黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三数学第二次模拟试题 文（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则的元素个数为（ ）A. 0B. 2C. 3D. 5【答案】B【解析】【分析】先根据的定义可以求出交集，然后判断交集的元素的个数。【详解】因为=，所以的元素个数为2个，故本题选B。【点睛】本题考查了集合交集运算、以及集合元素个数。2.复
2、数（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据复数运算可知，可知的模为，故本题正确选项为A.考点：复数的运算与复数的模.3.函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把，化成或者形式，然后根据公式,可以直接求解。【详解】由，可得：，所以本题选A。【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式、辅助角公式、周期公式。4.已知向量，若，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】先求出，利用数量积的坐标表示，得出方程，便可求出的值。【详解】=（），故本题选A。【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标表示、平面向量的坐标运
3、算。重点考查了两个平面向量垂直，它们的横坐标之积与纵坐标之积的和为零。5.若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由渐近线方程可以知道的关系，再利用这个关系，可以求出的关系，也就可以求出离心率。【详解】双曲线的一条渐近线方程为，所以有，即，而，所以有，故本题选B。【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程、离心率、三者之间的关系。6.已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 1B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】通过三视图可以知道该几何体是底面是直角三角形的直三棱柱，根据棱柱的体积公式，直接求解
4、。【详解】通过三视图可知，该几何体是直三棱柱，其底面是直角边边长分别为的直角三角形，高为，故本题选B。【点睛】本题考查了通过三视图判断出几何体的形状、并求出其体积。7.若、满足约束条件，则的最小值为（ ）A. 0B. -1C. -2D. -3【答案】C【解析】【分析】画出可行解域，画出直线，平移直线，找到使直线在轴截距最大的点，把坐标代入即可求出的最小值。【详解】画出可行解域如下图：平移直线 ，当经过交点时，直线在轴截距最大，即有最小值，最小值为，故本题选C。【点睛】本题考查了线性规划问题，解决此类问题的关键是画出正确的可行解域.8.函数的单调减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【
5、解析】【分析】先求出函数的定义域，然后求出函数的单调递减区间，结合定义域，写出函数的单调减区间。【详解】函数,所以 或，所以函数的定义域为或，当时，函数是单调递减，而，所以函数的单调减区间为，故本题选A。【点睛】本题考查了复合函数的单调性。要注意的是必须在定义域的前提下，去找单调区间。9.在数学解题中，常会碰到形如“”结构，这时可类比正切的和角公式.如：设是非零实数，且满足，则（ ）A. 4B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】已知， 对左边分式的分子分母同时除以，令=tan,构造成“”的结构，利用正切的和角公式化简，然后求出tan的值。【详解】不等于零 ，令=tan，所以，故本题选D
6、。【点睛】本题考查了两角和的正切公式。本题重点考查了类比构造法。10.我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可.【详解】根据题意可知，第一天，所以满足，不满足，故排除AB，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有，且，所以循环条件应该是.故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，
7、把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.11.从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为，问题求的是，首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出的可能性有多少种，然后求出.【详解】设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有种情况，当时，可能的情况如下表
8、：个数11，2，3，4，5522，3，4，5433，4，5344，52551，故本题选C.【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.12.已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点.若，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 4【答案】D【解析】依题意点的坐标为，设在准线上的射影为，由抛物线的定义知 ，则 ， ，求得 ，故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知函数，当时，函数的最大值为_ .【答案】【解析】【分析】对函数进行求导，判断单调性，求出函数的最大值。【详解】因为，所以函数是上的增函数，故当时，函数的最大值为。【点睛】本题考查了
9、利用导数判断函数的单调性，求函数的最大值问题。14.已知函数是奇函数，当时，则的值为 _【答案】【解析】【分析】先求出的值，设为，判断是否大于零，如果大于零，直接求出的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质，进行求解。【详解】= ， 函数是奇函数，所以的值为。【点睛】本题考查了奇函数性质、对数的运算。15.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则球 的表面积为_【答案】【解析】【分析】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，求出长方体的对角线，就可以求出外接球的直径，最后求出球的表面积。【详解】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，如下图所示：,所以球的直径为6，球的表面积为
10、。【点睛】本题考查了利用补形法求直三棱柱外接球的表面积。16.在中，已知，给出下列结论：由已知条件，这个三角形被唯一确定；一定是钝角三角形；若，则的面积是.其中正确结论的序号是 _【答案】【解析】【分析】根据正弦定理及三角形面积公式，余弦定理，逐一分析选项即可.【详解】因为(bc)(ca)(ab)456，设，可解得，对于，边长不确定，所以错误，对于由余弦定理，可知A为钝角，ABC一定是钝角三角形，所以正确，对于由正弦定理知,正确，对于由，又,故错误.【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理，三角形面积公式求面积，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第172
11、1题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（共60分）17.已知等差数列中，（1）求的通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）或.（2）或.【解析】【分析】通过等差数列的通项公式，求出的表达式，然后代入，中，得到方程组，解这个方程组，求出。（1）已知的值，直接代入等差数列的通项公式中，求出的通项公式（2）已知的值，直接代入等差数列前项和公式中，求出的前项和。【详解】解：设的公差为，则，即，解得，或，（1），.（2），或.【点睛】本题考查了等差数列基本量的求法、通项公式、等差数列前项和。18.如图所示，四棱锥中，底面，为线段上一点，.（1）证
12、明：平面；（2）求四面体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）想要证明线面平行，就要证线线平行。取的中点，可以证明，进一步可以证明，这样根据平行四边形的性质可以得到线线平行，命题得证；（2）根据平面，为的中点，可以求出到平面的距离，利用等积法可以求出四面体的体积。【详解】解：（1）证明：由已知得如图，取的中点，连接，由为中点知，.又，故，又平面，从而证得平面；（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为，如图，取的中点，连接. 由得，则.故.所以四面体的体积.【点睛】本题考查了线面平行的判定，一般取中点是常见的方法。同时本题也考查了利用等积法求三棱锥的体积。19.随着社会的发
13、展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为类工人），从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到类工人生产能力的茎叶图（如图），类工人生产能力的频率分布直方图（如图）.（1）问类、类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的；（2）求类工人生产能力的中位数，并估计类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若规定生产能力在内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面列联表，并判断是否可以在犯错误概率
14、不超过的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关.能力与培训时间列联表:短期培训长期培训合计能力优秀能力不优秀合计参考数据：0150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中.【答案】（1）0.024；（2）可以在犯错误概率不超过的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关【解析】试题分析：（1）由茎叶图知A类工人中抽查人数为25名，B类工人中应抽查10025=75，由频率分布直方图求出x；（2）由茎叶图知A类工人生产能力的中位数为122，由（1）及频率分布直方图，估计B类工人生产能力的平均数；（3）求出K2，与临界值比较，即可得出结论试题解析：解：（1）由茎叶图知A类工人中抽查人数为25名, B类工人中应抽查100-25=75（名）. 由频率分布直方图得 (0.008+0.02+
