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1、重庆市第一中学校2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.设集合，若，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题可得1为的一个根，求出的值，对求得的值进行检验，从而得到满足条件的集合。【详解】由于，所以1为的一个根，即，解得：或当时，则，不满足题意，舍去；当时，则，满足题意，此时；故答案选D【点睛】本题主要考查已知两集合的交集，求其中一个集合，解题的关键是熟练掌握交集的性质，属于基础题。2.函数的零点所在的一个区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由零点的存在性定理可知，当函数在区间
2、满足时，在区间上至少有一个零点.由于所以，所以函数在区间（-1，0）上存在零点，故选B.考点：函数零点的存在性定理.3.已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，表示出，从而解得，利用向量模的公式，即可得到答案【详解】设，所以，则，解得所以，故故答案选D【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量模的计算公式，属于基础题。4.中国古代数学名著九章算术中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500
3、斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为A. 200B. 300C. D. 400【答案】B【解析】由题设五人分得的鹿肉斤数成等差数列，因为，所以，则由等差数列的性质可得，即，所以，应选答案B 。点睛：本题将古代著名数学问题与等差数列紧密联系起来，彰显了数学知识历史渊源，同时也说明数学知识的应用无处不在。求解时巧妙运用等差数列的通项的性质，从而使得问题简捷、巧妙获解。5.实数的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，求出的范围，即可得到答案。【详解】由于在上为单调递增函数，所以，由于在上为单调递增函数，所以所以 ，故所以答案选C【点
4、睛】本题考查指数函数和对数函数单调性在比较指数、对数大小中的应用，属于基础题。6.已知非零向量满足，的夹角为，且，则向量的数量积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题可得，利用向量数量积的公式，即可得到答案。【详解】由非零向量满足，可得所以由于的夹角为，且，所以故答案选A【点睛】本题考查向量的数量积的运算公式，同时考查学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题。7.等比数列的前项和为，且，成等差数列，则（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，由，成等差数列，可得，即，解得值，利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出答案。【详解】设等
5、比数列的公比为，由于，成等差数列，所以，即，由于在等比数列中，所以，解得或当时，当时，故答案选B【点睛】本题考查等差中项与等比数列的通项公式和求和公式，理解并掌握数列的通项公式和求和公式是解题的关键，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题8.设的内角所对边分别为，已知，的面积为，则的外接圆面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理化简，可得，化简即可得到，再利用三角形的面积公式以及余弦定理联立方程，可得，再根据正弦定理可得，从而求得三角形外接圆的半径，即可得到面积【详解】因为，由正弦定理可得：即由于在中，由诱导公式可得，所以等价于，由于在中，则，所以，因为在中
6、，故由于的面积为，所以由三角形面积公式以及余弦定理可得： 解得： 所以由正弦定理可得，解得：，则的外接圆的半径为2，其面积为故答案选A【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式在三角形中的应用，熟练掌握公式是解题的关键，考查学生基本的运算能力，属于中档题9.在直角坐标系中，曲线与轴交于两点，点的坐标为，则过三点的圆截轴所得的弦长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次方，即可得得到两点坐标，设出圆的标准方程，把三点坐标代入标准方程，解得过三点的圆的方程，最后利用圆的弦长公式即可得到答案。【详解】曲线与轴交于两点，令，解得：，所以点坐标为，点坐标为，设过
7、三点的圆的标准方程为 则 ，解得： 所以过三点的圆的标准方程为则圆心到轴的距离为，所以过三点的圆截轴所得的弦长为 故答案选A【点睛】本题主要考查求圆的方程以及圆的弦长公式，熟练掌握圆的弦长公式是解题的关键，考查学生的计算能力，其中圆的弦长公式为 ，属于中档题10.如图，在所有棱长均为2的直三棱柱中，D、E分别为、的中点，则异面直线AD，CE所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设的中点，以为轴建立坐标系，分别求出，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】设中点，以为轴建立坐标系，则，则，设与成的角为，则，故选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“
8、补型法”，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.11.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足 .则下列叙述错误的是（ ）A. B. 当时，点到轴的距离的最大值为6C. 当时，函数单调递减D. 当时，
9、【答案】C【解析】由点可得，由旋转一周用时60秒，可得，由，可得，所以选项A正确则可得由可得，则当，即时，取到最大值为6，所以选项B正确由可得，函数先增后减，所以选项C错误时，点，可得，所以选项D正确因此选C.12.已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且当时，过点作曲线的两条切线,若这两条切线互相垂直,则该函数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当时，可得函数在为增函数，结合函数的对称性可得函数的最小值为,进而分析可得点作曲线的两条切线的斜率，设右侧的切点为，求出函数的导数，由导数的几何意义可得，即，结合两点间连线的斜率公式可得，即，联立两式求出的值，代入函数的
10、解析式可得结果.【详解】根据题意，分析可得当时，则函数在为增函数，又由函数的图象关于直线对称，函数在为减函数，所以函数的最小值为，点作曲线的两条切线，则两条切线的关于直线对称，即两条切线的斜率互为相反数，若两条切线互相垂直，切线的斜率，设右侧的切点为，因为，所以导数，则有，即，又由切线过点，可得，即，解可得，联立可得，则函数的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及直线的斜率公式，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出
11、切点利用求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知圆锥的母线长为5，侧面积为，则此圆锥的体积为_（结果保留）【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，由题意可得：，圆锥的高：，圆锥的体积：.14.已知向量，且，则_.【答案】【解析】【分析】利用向量平行坐标的关系化简可得，从而求得，再利用配凑法可得，展开代值即可得到答案。【详解】由于向量，且所以，化简可得：，即，所以由于，则，故，即由于，所以故答案为【点睛】本题考查两个向量平行坐标的关系、同角的三角函数间的关系以及配凑法求三角函数值，解题的关键是，属于中档题。15.在中，角，的对边分别为，且，则的取值范围是_【答案】【解析】【
12、分析】由正弦定理表示出b，再由条件A+B=3A，根据，求出A的取值范围，根据余弦函数的性质求出b的取值范围【详解】由正弦定理可得，即，即，因为，所以，即，所以，即，所以，故的取值范围是【点睛】本题考查正弦定理以及余弦函数的性质的应用，属于中档题16.数列的前项和为，数列的前项和为， 满足，且. 若对任意恒成立，则实数的最大值为_【答案】【解析】【分析】令，可求得，从而得到，再利用 ，化简可得，利用累乘法求得数列的的通项公式，从而得到数列的通项公式，利用数列前和的定义可得，利用放缩法求得的范围，即可得到实数的最大值。【详解】由于，当时，则，解得：，所以，则可得，即，化简可得：，即由累乘法可得：当
13、时，满足条件，所以由，可得所以，则 利用放缩放可得，即由于对任意恒成立，则实数的最大值为 故答案为【点睛】本题考查数列的递推公式，数列通项公式与前项和的关系，求数列通项公式中的累乘法，数列前项和的定义以及放缩法在求数列和的范围中的应用，在数列问题中，若遇到与的关系式时，常利用 来求数列的通项公式，有一定综合性。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出演算步骤或证明过程.（一）必考题：共60分17.设数列的前项和为，若且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，求出，再利用 求出的通项公式，注意检验通项公式中，是否满足条件；（2
14、）由题可得是首项为，公比为的等比数列，从而得到，代入化简可得，利用裂项相消即可求得数列的前项和。【详解】（1）当时，当时， 得，因为故从第二项起，为等比数列，所以.（2）由于.，所以是首项为，公比为的等比数列，故，则，故，故【点睛】本题考查利用 求数列通项公式以及利用裂项相消法求数列前项和，在利用 求数列通项公式时，注意检验通项公式中，是否满足条件，属于中档题。18.如图，在中，.（1）若,求的长；（2）若的垂直平分线与分别交于两点，且，求角的大小.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理可得，从而解得的长；（2）连接，由题设，有，在中，由正弦定理化简可得，在直角中，化简得到，从而求角的大小【详解】(1)在中，由余弦定理有，即，解得.（2）如图，连接，由题设，有，在中，由正弦定理有，故.在直角中，所以，而 ，故.【点睛】本题主要考查正弦定理以及余弦定理在求三角形边长和内角中的应用，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题。19.某超市计划销售某
