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1、力学部分主要公式 1 牛顿第二定律 2 角动量定理 对于质点 角动量 对于刚体 角动量 3 保守力与势能关系 4 三种势能 重力势能 弹性势能 万有引力势能 5 保守力的特点 作功与路径无关 6 振动的微分方程 圆频率 7 阻尼振动 l 水平轻绳跨过固定在质量为m1的水平物块的一个 小圆柱棒后 斜向下连接质量为m2的小物块 设系统 处处无摩擦 将系统从静止状态自由释放 假设两物块 的运动方向恒如图所示 即绳与水平桌面的夹角 始终不变 试求 解 画隔离体图 受力分析 列方程 沿绳的方向加速度应该相等 解得 例2 质量为M 半径为R的光滑半球 其底面放在光滑水平面上 有一质量为m的小滑块沿此半球面
2、滑下 已知小滑块初始位置与球心联线与竖直线成角 系统开始时静止 求小滑块滑离半球面前绕球心的角速度 解 设半球面到图示虚线位置时 小滑块与竖直线夹角为 以地为参照系 小滑块对地的速度为 半球面对地的速度为 小滑块滑离半球面前绕球心的角速度为 小球速度 水平方向动量守恒 系统机械能守恒 解得 例3 长为 质量为M的均质重梯上端A靠在光滑的竖直 墙面上 下端B落在水平地面上 梯子与地面夹角为 一质量也为M的人从B端缓慢爬梯 到达梯子中点时 梯子尚未滑动 稍过中点 梯子就会滑动 求梯子与 地面之间的摩擦系数 解 系统力平衡力矩平衡 求得 例4 在水平地面上的一个桶内成有水 桶的侧面有个 小孔 孔与水
3、面相距为 水从小孔 流出 求水从小孔流出时的速度 解 在孔处取单位体积的小体元 体元左侧面积为单位面积 受力等于 该处的压强 此体元运动单位距离就可以流出 按照牛顿第二定律 速度 右侧面积为单位面积 受力 此体元经受力 例5 质量为 长为 的匀质棒可绕固定的支点在竖直 平面内运动 若棒在与水平线成 角位置从静止开始 下落 试计算当棒落到水平位置时 作用于支点的力 解 由转动定理 这里 得到角加速度 表达式可写成 两边积分 得到 轴反力的两个分量 和 列出质心运动方程 法线方向 切线方向 或写成 当 时 得到 例6 一长为 的细麦杆可绕通过中心 的水平转轴 在铅锤面内自由转动 开始时麦杆静止于水
4、平位置 一质量与麦杆相同的甲虫以速度 垂直落到麦杆的 长度处 落下后甲虫立即向端点爬行 问为使 麦杆以均匀的角速度旋转 甲虫沿麦杆爬行的速度 多大 解 以麦杆和甲虫为系统 碰撞过程角动量守恒 设碰后系统的角速度为 于是有 解得 碰后 当甲虫距轴心为 时系统的转动惯量为 作用在系统上的重力矩为 据转动定理 应有 即 于是甲虫的速度为 例7 光滑水平面上有一半径为 的固定圆环 长为 的匀质细杆AB开始时绕着C点旋转 C点靠在环上 且无初速度 假设而后细杆可无相对滑动地绕着 圆环外侧运动 直至细杆的B端与环接触后彼此分离 已知细杆与圆环间的摩擦系数 处处相同 试求 的取值范围 解 设初始时细杆的旋转
5、 角速度为 转过 角后 角速度为 由于摩擦力 并不作功 故细杆和圆环 构成的系统机械能守恒 应有 这里 解得 细杆质心C将沿着圆的渐开线运动 切向加速度为 法向加速度为 列出细杆质心运动方程 不打滑的条件 即 由于 所以 例8 两个均质圆盘转动惯量分别为 和 开始时第一个圆盘以 的角速度旋转 第二个圆盘静止 然后使两盘水平轴接近 求 当接触点处无相对滑动时 两圆盘的角速度 解 受力分析 无竖直方向上的运动 以O1点为参考点 计算系统的外力矩 作用在系统上的外力矩不为0 故系统的角动量不守恒 只能用转动定律做此题 对于盘1 阻力矩 两边积分 对于盘2 两边积分 于是有 不打滑条件 接触点处两盘的
6、线速度相等 可解得 例9 质量为2m 半径为R的均质圆盘形滑轮 挂质量分别为m和2m 的物体 绳与滑轮之间的摩擦系数为 问 为何值时 绳与滑轮之间无相对滑动 解 受力分析 列方程 滑轮 不打滑的条件 由以上四式解得 绳中的张力分析 任取线元 此线元切向运动方程为 此线元法向运动方程为 利用近似 忽略二阶无穷小量 得到 两式相除得到 两式相除得到 解此方程得到 当 时 于是得到摩擦系数为 例10均匀圆柱体 从静止沿斜面下滑 圆柱与斜面间摩擦系 数为 当摩擦系数为某一临界值时 圆柱体恰纯滚动地向 下滚动 求此 临界值 解 质心运动方程 转动定理 纯滚动条件 解得 例11 一个质量为m的卫星围绕着质
7、量为M 半径为R 的大星体作半径为2R的圆周运动 从远处飞来一个 质量为2m 速度为 的小流星 恰好沿着 卫星运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞 结成 新的星体 作用时间非常短 假定碰撞前后位置的变化 可以忽略不计 新星的速度仍沿原来方向 1 试用计算表明新星的轨道类型 算出轨道的偏心率 2 如果小流星沿着卫星速度的反方向发生如上的碰撞 给出新星体能否与大星体 M碰撞的判断 1 解 轨道类型与新星 的机械能的正负有关 如果动能大于势能 新星可以摆脱地球的 吸引 轨道成为非闭合的 如果动能小于于势能 新星不能摆脱地球的 吸引 轨道成为闭合的 即椭圆轨道 可以用新星的机械 能的正负来判断轨道的类
8、型 偏心率的定义为 为了计算碰后的机械能 首先要计算出碰后的速度 设碰后新星速度为 碰撞过程动量守恒 碰前卫星的运动方程为 求得碰前卫星的运动速度 碰撞过程动量守恒 求得碰后新星的运动速度 此时的位置相当于在新星运动的近地点 我们计算新星近地点的机械能 说明新星作椭圆轨道运动 下面我们讨论一下新星的机械能与远地点距离关系 新星运动角动量守恒 得到 带入远地点的机械能表达式 此能量应等于新星在近地点的机械能 解得 经化简得到 偏心率 2 解 反方向碰撞 设碰后新星体的速度为 碰前卫星的速度 质量为m 碰前流星的速度 质量为2m 碰撞过程动量守恒 求得碰后新星的运动速度 此时的位置相当于在新星运动
9、的远地点 我们计算新星远地点的机械能 说明新星作椭圆轨道运动 新星运动角动量守恒 得到 带入近地点的机械能表达式 此能量应等于新星在远地点的机械能 解得 经化简得到 肯定与大星体相碰 例12 半径为R的圆环绕铅垂的直径轴以 的角速度旋转 一细杆长为 其两端约束在圆环上可作无摩擦 的滑动 细杆的位置用OC与铅垂线的夹角 表示 C为 细杆的质心 试求细杆在圆环上的平衡位置 并分析 平衡的稳定性 解 以圆环为参考系 以细杆 质心位于轴上时作为重力势能 的0点 任意位置时重力势能为 在细杆上任取线元 所受的惯性力 离心力 为 此力作功与路径无关 可用势能减少 量描述 设轴上的离心势能为 处的离心势能
10、设为 应有 离心势能为 系杆总的有效势能 平衡条件 稳定平衡条件 非稳定平衡条件 由 求出三个平衡位置 为讨论平衡位置的稳定性 计算二阶导数 时 当 时 取极小值 属稳定平衡 当 时 取极大值 属不稳定平衡 时 取极大值 属不稳定平衡 当 时 因 即 或 所以当 时 定属于稳定平衡 例13 水平弹簧振子 弹簧的劲度系数为 振子的 质量为 水平阻尼力的大小与振子的运动速度成 正比比例系数为 求形成低阻尼振动的条件 解 据牛顿第二定律 得到 或 设特解为 带入 1 式 得到 得到 两个特解 低阻尼 欠阻尼 情况 振子作衰减振荡运动 e指数的变量必须是复数 需满足条件 即 a 低阻尼 欠阻尼 b 临界阻尼 c 高阻尼 过阻尼 例14 两弹性系数都是 的弹簧它们与质量为 两固定端之间的距离为 等于两弹簧原长的和 微微波动一下滑块 使其作微小的 振动运动 求振动圆频率 解 当位移为 时 滑块受力 滑块运动方程 由于 对力作近似处理 利用 得到 滑块振动方程变为 振动圆频率为
