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1、湖南省衡阳市2015届高三数学第三次联考试题 理（扫描版）2015年衡阳市第三次联考理科数学答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【答案】B【解析】：令，则，【答案】B【解析】：【答案】B【解析】：解得：【答案】C【解析】：【答案】B【解析】：略【答案】C【解析】：7. 【答案】A【解析】：设圆柱的底面半径为R，高为h,则。 设造价为 ，令，得8【答案】D【解析】由正弦定理得，因为，所以所以，又，所以由余弦定理得，即，又，所以，求得=故选D9【答案】B【解析】：RtABF中，OF=c,AB=2c，AF=2c,BF=2c,1
2、0【答案】C【解析】：令，则得或.则有或. （1）当时，若，则，=-1或=，或，解得或（舍）；若，则，或，解得或，或，均满足.所以，当时，零点有3个；同理讨论可得，时，零点有3个.所以，无论为何值，均有3个零点.二、填空题：（本大题共6小题，考生只作答5小题，每小题5分，共25分）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）11.（几何证明选讲）【答案】【解析】：，PC=4，12.（极坐标与参数方程）【答案】【解析】：曲线的普通方程为：，曲线的普通方程为：。平移与相切得切线方程：，两平行线间距离。13.（不等式选讲） 【答案】【解析】：画图得（二）必做
3、题（14-16题）14【答案】15【解析】：，即常数项为15【答案】【解析】依题意，画出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数，当直线经过点时，取得最大值，即16 【答案】；.【解析】（1）所求概率为扇形的面积与正方形的面积的比值，设正方形边长为，则所求概率为.故填.（2）不妨设正方形边长为，以为坐标原点，所在直线为轴，轴建立直角坐标系，则，.由，得，解得.由，求得，从而.故填.三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）【解析】（1） 函数f(x)的最小正周期 3分令，解得 函数f(x)的单调递减区间是 6分 （2）由f(
4、C) = 0，得， 在ABC中， ，解得 10分又. ABC中，由余弦定理得： 由，得 12分18（本小题满分12分）【解析】：，2分估计该基地榕树树苗平均高度为()6分（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。）由频率分布表知树苗高度在108，112)范围内的有9株，在110，112)范围内的有3株，因此的所有可能取值为0，1，2，37分 ，10分0123的分布列为的期望为12分19（本小题满分12分）【解析】解一：（1）因为侧面为菱形，所以，又，所以 ，从而. 5分（2）设线段的中点为，连接、，由题意知平面.因为侧面为菱形，所以，故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直
5、角坐标系，如图1所示.设，由可知，所以，从而，. 所以 . 由可得，所以. 7分设平面的一个法向量为，由，得 取，则，所以. 9分又平面的法向量为，所以.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分解二：（1）连接、，设交于点，连，如图2所示.由，可得，所以.由于是线段的中点，所以，图2又根据菱形的性质，所以平面，从而. 5分（2）因为，所以延长、交于点，延长、交于点，且，.连接，则.过点作的垂线交于点，交于点，连接，如图3所示.因为，所以.由题意知平面，所以由三垂线定理得， 图3故是平面与平面所成二面角的平面角. 8分易知，所以.在中，所以.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分20（
6、本小题满分13分） 【解析】：（1）因为，所以，同理， 2分又因为，所以，故，成等差数列3分（2） 由，得，令，则，所以是以0为首项，公差为的等差数列，所以，4分即，所以，所以 6分当， 7分当8分（3）由（2）知，用累加法可求得，当时也适合，所以10分假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，则，即，11分因为成等比数列，所以，所以，化简得，联立 ，得这与题设矛盾故不存在三项成等比数列，且也成等比数列13分21（本小题满分13分）【解析】：（1）2分椭圆右焦点的坐标为（1,0），=（1，-n），由，得设点的坐标为，由，有，代入，得6分（2）(法一)设直线的方程为，、，则，由，得， 同理得,，则10分由，得，则因此，的值是定值，且定值为13分 (法二)当时， 当不垂直轴时，设直线的方程为，同解法一，得因此，的值是定值，且定值为(本小题满分13分)【解析】：（1） 图象与轴异于原点的交点，图象与轴的交点，由题意可得，即， 2分， 3分（2）=令，在 时，在单调递增， 4分图象的对称轴，抛物线开口向上当即时， 5分当即时，6分当即时， 8分,所以在区间上单调递增 时，当时，有，得，同理， 由的单调性知 、从而有，符合题设. 10分当时，由的单调性知 ，与题设不符 12分当时，同理可得，得，与题设不符. 综合、得 13分- 14 -
