直线方向向量的应用http://www.DearEDU.com赵成海 1. 定义 设P1、P2是直线l：上的不同两点，那么向量以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，若，则的坐标为；特别当直线l与x轴不垂直时，即，直线的斜率k存在时，那么（1，k）是它的一个方向向量；当直线l与x轴平行时，方向向量可为（1，0）；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为（－B，A） 2. 应用举例 （1）求斜率 例1. 已知直线的倾斜角为30，直线，求直线的斜率 解 由已知，则直线的斜率为 则其方向向量为 设直线的斜率为k2，其方向向量为 当直线时，m⊥n，即mn＝0， 从而 （2）求直线方程 例2. 已知三角形三顶点坐标分别为A（2，－3），B（－7，9），C（18，9），求AB边上的中线、高线方程以及∠C的内、外角平分线方程 解：①求中线方程 那么AB边上的中线CD的方向向量为 ， 也就是 ， 因而 直线CD的斜率为， 那么直线CD的方程为 整理得 ②求高线方程 由于， 因而AB的方向向量为 而 AB边上的高CE⊥AB， 则直线CE的方向向量为 那么高线CE的方程为 整理得 ③求∠C的内角平分线方程 则∠C内角平分线的方向向量为 也就是 因而内角平分线CF的方程为 整理得 ④求外角平分线方程 设外角平分线为CG，由内角平分线与外角平分线互相垂直知，CG的方向向量为（1，－3）。
同理可求出外角平分线CG的方程为 （3）求参数 例3. 已知，两直线，，那么θ为何值时，①；② 解：由已知，得直线l1的方向向量为 直线l2的方向向量为n＝（－1，2sinθ）， 当时，m∥n，即 解得 当时，m⊥n，即mn＝0 ，解得 （4）判断直线的平行与垂直 设两条直线的斜率分别为，直线，其方向向量为，直线，其方向向量为n＝（1，k2），那么的充要条件为时，m⊥n，即mn＝0，则，因而的充要条件为 设直线，其方向向量为（－B1，A1），直线，其方向向量为（），那么 当 当 例4. 已知直线与直线互相垂直，求a的值 解：由，得 ， 解得 a＝1 （5）求两直线的夹角 设直线，其方向向量为m＝(1，k1)，直线，其方向向量为，当＝0时，两直线的夹角为90；当时，设夹角为，则；若设直线，其方向向量为（－B1，A1），直线，其方向向量为（－B2，A2），那么 例5. 已知直线，直线，求直线与的夹角 解：因为， 因而所求角为用心 爱心 专心 119号编辑 4 。