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1、3对流扩散方程 对流扩散方程 如果给定初值 则 3 1 3 2 构成了对流扩散方程的初值问题 则成为对流占优扩散方程 如果 3对流扩散方程 对流扩散方程 3 1中心显式格式 格式 3 3 的截断误差为 如果 是对流方程不稳定的差分格式 3 3 可改写为 3对流扩散方程 如果令 此差分格式的增长因子为 即差分格式稳定的充分条件为 3对流扩散方程 此差分格式的增长因子为 即差分格式稳定的充分条件为 3对流扩散方程 上式可改写为 即差分格式稳定的充分条件为 3对流扩散方程 因为 所以上面不等式满足条件为 即差分格式稳定的充分条件为 3对流扩散方程 3 3 的稳定性限制为 3 2修正中心显示格式 代入
2、 3 2修正中心显示格式 代入 3 2修正中心显示格式 将其代入 3 3 3 2修正中心显示格式 利用Taylor级数展开有 3 2修正中心显示格式 3 2修正中心显示格式 中心显示差分格式 3 3 求解 3 1 式相当于求解微分方程 3 6 就是对流扩散方程 3 1 3 2修正中心显示格式 3 6 就是对流扩散方程 3 1 3 2修正中心显示格式 用 3 3 计算时扩散效应减少 因此引入修正中心显式格式 效果显著 3 2修正中心显示格式 因此引入修正中心显式格式 逼近对流扩散方程 3 1 的截断误差为 3 7 与 3 3 的区别在于用 3 4 和 3 5 知 3 7 的稳定性条件为 3 7
3、的稳定性条件为 3 2修正中心显示格式 3 3 的稳定性限制为 恒成立 3 3迎风差分格式 其办法相当于 在一阶空间偏导数的离散中采用单边差商 那么逼近 3 1 式的迎风差分格式为 可以把 3 9 式写成 3 3 式的形式 即 那么逼近 3 1 式的迎风差分格式为 可以把 3 9 式写成 3 3 式的形式 即 令 可以得到 3 9 式的稳定性条件为 稳定性的第一个条件等价于 3 3迎风差分格式 利用稳定性的第二个条件可得到 稳定性的第一个条件等价于 3 3迎风差分格式 而 利用不等式 令 稳定性条件为 3 4Samarskii格式 设a 0 先对方程 3 1 作扰动 对 3 11 构造迎风格式
4、 3 11 式化为 3 1 式 时 3 4Samarskii格式 推导 3 12 式的截断误差 Samarskii格式 3 4Samarskii格式 用Taylor级数展开 令 用Taylor级数展开有 3 4Samarskii格式 用Taylor级数展开有 3 4Samarskii格式 由于 所以 3 4Samarskii格式 利用 3 4Samarskii格式 Samarskii格式稳定的条件为 3 5指数型差分格式 对 3 14 式积分可以得到 其中 通解 3 14 中有两个待定常数 定态的对流扩散方程 相应于 那么有 3 5指数型差分格式 3 5指数型差分格式 把 代入通解有 3 5指
5、数型差分格式 上式改变写法有 改变其形式 对流扩散方程 3 1 3 14 3 16 式相比较 给出 3 1 的差分格式 3 5指数型差分格式 3 17 为逼近对流扩散方程 3 1 的指数型差分格式 3 5指数型差分格式 如果在 3 18 中不考虑 3 5指数型差分格式 考虑 设u为对流扩散方程 3 1 的光滑解 3 5指数型差分格式 利用Taylor展开有 利用Taylor展开有 由此得 3 17 的截断误差为 3 5指数型差分格式 3 17 的截断误差为 利用 3 19 可得 3 5指数型差分格式 中心显示格式的稳定条件 中心显式 3 17 的稳定性条件为 3 19 3 5指数型差分格式 利
6、用 3 19 可得 P103 考察指数格式Samarskii格式迎风格式之间的关系 取h充分小 由此可以看出 3 20 式化为迎风差分格式 3 9 P100 设a 0 想把指数格式改写为 如果 那么 3 20 式化为SamarskiiP101 考察指数格式Samarskii格式迎风格式之间的关系 3对流扩散方程 指数型差分格式 迎风差分格式为 Samarskii格式 迎风格式 Samarskii都是指数格式在某种情况下的近似 3 6隐式格式 考虑Crank Nicolson型隐式差分格式 其中 二阶精度 增长因子 3 6隐式格式 Crank Nicolson 二阶精度 增长因子 由于 及上式的分母为正 所以有 从而得出隐式格式 3 21 是无条件稳定的 3 6隐式格式 感谢亲观看此幻灯片 此课件部分内容来源于网络 如有侵权请及时联系我们删除 谢谢配合
