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1、第四讲 数学归纳法证明不等式单元整合知识网络专题探究专题一正确使用数学归纳法同学们在刚开始学习数学归纳法时，常常会遇到两个困难，一是数学归纳法的思想实质不容易理解，二是归纳步骤的证明有时感到难以入手本专题将对两种常见的错误进行讨论、整理，以帮助学生进一步理解数学归纳法的原理，弄清它的实质，从而明确如何正确地使用数学归纳法(1)缺少数学归纳法的第二步有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立，那么由P(k)成立导出P(k1)成立是必然的，因此第二步归纳步骤是流于形式，证与不证似乎一样，显然这是不正确的产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用，如果没有递推性，那么一个命题可能
2、对于开头的许多自然数都成立，但是一般的并不成立，我们举几个例子来看看十七世纪法国卓越的数学家费尔玛考查了形如的数，n0,1,2,3,4时，它的值分别为3,5,17,257,65 537.这5个数都是质数因此费尔玛就猜想：对于任意的自然数n，式子22n1的值都是质数但是在十八世纪另一位卓越的数学家欧拉指出n5时，4 294 967 2976416 700 417.是个合数，费尔玛的猜想错了这就充分说明我们不能把不完全归纳法当成证明，用数学归纳法证明时第二步不可缺少(2)缺少数学归纳法的第一步也有人觉得既然第二步归纳步骤中有递推作用，而且k又可以任意取值，这样就够了，有没有第一步P(1)无关紧要这
3、种认识也是错误的，它忽视了第一步的奠基作用，因为如果没有P(1)成立，归纳假设P(k)成立就没有了依据，因此递推性也就成了无源之水，无本之木，下面我们看一个这样的例子【例】如果不要奠基步骤，我们就可以证明(n1)2(n2)2一定是偶数(nN)剖析：假设nk时命题成立，即(k1)2(k2)2是偶数当nk1时，(k1)12(k1)22(k2)2(k1)24(k1)4(k1)2(k2)24(k2)由假设(k1)2(k2)2是偶数，又4(k2)也是偶数，所以上式是偶数，这就是说nk1时命题也成立由此，对于任意的正整数n，(n1)2(n2)2一定是偶数这个结论显然是错误的，原因就在于证明中缺少第一步奠基
4、步骤，实际上，n1时，(11)2(12)24913不是偶数，这说明使用数学归纳法时缺第一步不可用数学归纳法证明，对于nN，.证明：(1)当n1时，左边，右边，所以等式成立(2)假设nk时等式成立，即，当nk1时，.由(1)(2)可知，对于任意的nN，所证等式都成立专题二数学归纳法证题的几种技巧在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)”是问题的条件，而命题P(k1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一
5、些常用技巧1分析综合法用数学归纳法假设证明关于正整数n的不等式，从“P(k)”到“P(k1)”，常常可用分析综合法求证：对任意正整数n，有132333n3(12n)2成立提示：这是一个等式证明问题，它涉及全体正整数，用数学归纳法证明用数学归纳法证明恒等式，关键是第二步要用上假设，证明nk1时，原等式成立证明：(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，所以原等式成立(2)假设当nk(kN，k1)时，等式成立，即1323k3(12k)2.当nk1时，1323k3(k1)3(12k)2(k1)32(k1)32k24(k1)212k(k1)2，即当nk1时，原等式也成立综合(1)(2)可知，对任何nN
6、，原等式都成立设a，b为正数，nN，求证：n.提示：这是一个不等式证明问题，它涉及全体正整数n，用数学归纳法证明证明：(1)当n1时，显然成立(2)假设当nk(kN，k1)时，不等式成立，即k.则nk1时，要证明不等式成立，即证明k1.在k的两边同时乘以，得k1.要证明k1，只需证明.因为2(ak1bk1)(ab)(akbk)2(ak1bk1)(ak1abkbakbk1)0ak1abkbakbk10(ab)(akbk)0.又ab与(akbk)同正负(或同时为0)，所以最后一个不等式显然成立，这就证明了当nk1时，不等式成立综合(1)(2)可知，对任何nN，不等式n成立2放缩法涉及关于正整数n的
7、不等式，从“k”过渡到“k1”，有时也考虑用放缩法求证：1(nN)提示：利用数学归纳法证明不等式关键是利用放缩、凑假设、凑结论但要注意从nk变化到nk1时增加了多少项，减少了多少项，一般用f(k1)f(k)研究增加或减少的项的多少证明：(1)当n1时，左边1，右边，左边右边，不等式成立(2)假设nk(kN，k1)时，不等式成立，即1.当nk1时，12k1.nk1时，不等式成立由(1)(2)可知：1(nN)3递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用an与an1的关系，实现从“k”到“k1”的过渡设0a1，定义a11a，an1a，求证：对一切正整数n，有1an.提示：数列类问题用数学归
8、纳法证明时，一般先用递推公式，后用归纳假设证明：(1)当n1时，a11，a11a，显然命题成立(2)假设nk(kN，k1)时，命题成立，即1ak.当nk1时，由递推公式，知ak1a(1a)a1.同时，ak1a1a，故当nk1时，命题也成立，即1ak1.综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1an.4拼凑法用数学归纳法证明关于正整数的命题(尤其是整除)时，从“k”过渡到“k1”常用拼凑法对于任意正整数n，求证：anbn能被ab整除(对于多项式A，B，如果存在多项式C，使得ABC，那么称A能被B整除)提示：用数学归纳法证明问题时，关键在于弄清n由k到k1时，问题的变化情况，创造条件一定要用上归纳
9、假设证明：(1)当n1时，anbnab能被ab整除(2)假设当nk(kN，k1)时，akbk能被ab整除，那么当nk1时，ak1bk1ak1akbakbbk1ak(ab)b(akbk)因为(ab)和akbk都能被ab整除，所以上面的和ak(ab)b(akbk)也能被ab整除这也就是说当nk1时，ak1bk1能被ab整除根据(1)(2)，由数学归纳法知对一切正整数n，anbn都能被ab整除5几何法“几何类”命题的证题关键是先要从证nk1时命题成立的结论中，分解出nk时命题成立的部分，然后去证余下的部分在同一平面内有n条直线，每两条不平行，任意三条不共点，求证：它们将此平面分成个部分(nN)提示：利用数学归纳法证明几何问题，关键是找出由nk到nk1时所增加的项证明：设f(n).(1)当n1时，一条直线将平面分成两部分，f(1)2，故命题成立(2)假设nk(kN，k1)时，k条直线将平面分成个部分当nk1时，第(k1)条直线与前k条直线交于k个点，使平面增加(k1)个部分，即将平面分成k1个部分，所以nk1时命题成立由(1)(2)得原命题成立5
