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1、4.2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法自主整理1.复数的加法、减法运算:(a+bi)(c+di)=_.2.复数的乘法运算:(a+bi)(c+di)=_.3.两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为_,用_表示.4.设z=a+bi,则=_,z=_.5.满足(c+di)(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫作_,记作_或_.高手笔记1.复数的加、减、乘、除运算后,所得的结果仍为复数.2.复数的加、减、乘法运算与多项式的运算类似.3.复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律,即对任何z1、z2、z3C有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z
2、1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立,即对任意复数z、z1、z2和正整数m、n有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.4.若z=z,则z为实数;若z+z=0(z0),则z为纯虚数.5.根据复数所满足的运算律,可知i 4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i.若设=+i,则1+2=0,=,2=,=1.名师解惑理解复数的除法运算的转化. 剖析:复数的除法是复数乘法的逆运算,但每次都按乘法的逆运算将十分麻烦.我们可以用简便
3、方法操作:先把两个复数相除写成分式形式,然后把分子与分母都同乘分母的共轭复数,使分母“实数化”,最后再化简.复数的除法与分母“有理化”的方法相类似.学习时,注意培养这种转化的思想和类比思想.讲练互动【例1】计算(6+6i)+(3-i)-(5-3i).分析:利用复数加、减法法则进行计算.解:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.绿色通道 复数的加、减法运算,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减,实部与实部相加减作实部、虚部与虚部相加减作虚部.变式训练1.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象
4、限 C.第三象限 D.第四象限答案:B【例2】已知x、yR,且+,求x、y的值.分析:复数通分太麻烦,可将每个分母的复数化为实数,再进行计算.解:+可写成+=,5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i,绿色通道 本题为复数的除法运算,将每个分式的分母同乘分母的共轭复数,再由复数相等的定义,转化为实数方程组.变式训练2.求+的值.解:原式=.【例3】计算i2 006+(+)8-()50.分析:利用i的幂的周期性,(1i)2=2i便可简便地求出结果.解:原式=i5014+2+(4i)4-()25=-1+256-i=255-i.绿色通道 注意复数计算
5、中常用的整体.变式训练3.计算.解:原式=i.【例4】设|z|=1且zi,证明是实数.分析:(1)z为复数可设出z=x+yi(x、yR),再进行运算、判断;(2)由|z|=1转为z=1,即=,进一步化简.证法一:设z=x+yi(x、yR).则=.|z|=1,x2+y2=1.y-x2y-y3=y(1-x2-y2)=0.R.证法二:|z|=1,z=1.=.=.设z=a+bi,则z+=2aR.为实数.变式训练4.已知x、y为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x、y及|x|+|y|.解:设x=a+bi,则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2.(x+y)2-3xyi=4-6i,4a2-3(a2+b2)i=4-6i.或或或或或或|x|=,|y|=,|x|+|y|=2.4
