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1、湖北省孝感高级中学高中数学例谈数学思想在2011高考解析几何中的应用论文 在数学的知识和技能中，蕴含着具有普遍性的数学思想，它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是人们对数学事实与理论经过高度提炼概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根本源泉，是解决数学问题过程中的指路明灯.对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志，它能指导我们有效的应用数学知识探寻解题方向.本文就数学思想在解析几何中的应用作一些探讨.例1（湖北理20）平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上两点所成的曲线可以是圆，椭圆或双曲线.（1）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系.（2）当时，对
2、应的曲线为对给定的对应的曲线为设是的两个焦点.试问：在上，是否存在点使得的面积若存在，求的值；若不存在，请说明理由.分析（1）问先用直接法求轨迹方程，再根据曲线的概念进行分类讨论；（2）问是探索性问题，根据是否存在及绝对值的运算性质分类.解析（1）设当时，由条件可得即又的坐标满足故曲线的方程为当时，是圆心在原点的圆；当时，是焦点在轴上的椭圆；当时，是焦点在轴上的椭圆；当时，是焦点在轴上的双曲线.（2）由（1）知，当时，的方程为当的两个焦点为对给定的上存在点使得的充要条件是故解得且故当时，存在点使当时，不存在点使由可得令则由可得从而故综上可得：当时，在上存在点使得且当时，在上存在点使得且当时，在
3、上不存在点使得 点评本题具有课本背景，利用分类讨论思想引领可以准确快速解决此问题.2数形结合思想 解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中要善于将数形结合的数学思想运用于对圆锥曲线和平面几何的性质以及相互关系的研究.例2（广东理19）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切.（1）求圆的圆心轨迹的方程；（2）已知点且为上动点，求的最大值及此时点的坐标. 解析（1）由定义法求得轨迹方程为（过程略）.（2）由图1知，故当三点共线，且点在延长线上时，取得最大值且直线的方程为与双曲线方程联立得整理得解得（舍去），故当取得最大值2时，点的坐标为 点评将“距离差的绝对值”这一抽象问题转化为形象直观的“三角形两边
4、之差小于第三边”这一基本常识，体现了数形结合解题的简洁性.例3（上海理23）已知平面上的线段及点在上任取一点线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作（1）求点到线段的距离（2）设是长为2的线段，求点集所表示的图形面积.（3）写出到两条线段距离相等的点的集合其中是下列三组点中的一组.解析（1）设是线段上一点，则当时，（2）设线段的端点分别为以直线为轴，线段的中点为坐标原点建立直角坐标系，则点集由如图2的曲线围成， 其面积为（3）选择如图3.选择 如图4.选择如图5.点评对这样一道新定义综合创新试题，文字语言显得苍白无力，但是利用图形引领，集合语言跟进，问题便迎刃而解.体现了数与形的完美组合.3函
5、数思想 在解析几何中应用函数思想就是用运动变化，联系的观点，分析问题中的数量关系，构造函数来解决问题. 例4（北京理19）已知椭圆过点作圆的切线交椭圆于两点.（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；（2）将表示为的函数，并求的最大值. 解析（1）略；（2）由题知当时，切线的方程为则此时当时，同理可得当时，设切线的方程为将其代入消去并化简整理得，设则又与圆相切得即故当且仅当“”时取等号.综合上述知，点评构建弦长关于斜率这一函数关系，是解决此类最值问题的高效方法之一. 4方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线的相交问题利用韦达定理进行整体处理，以及直线方程思想的
6、应用，都可以大大简化解题过程.例5（浙江理21）已知抛物线圆的圆心为点M.（1）求点M到抛物线的准线的距离；（2）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线交抛物线于A，B两点，若过点M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程. 分析这里仅分析第（2）问，原解答中两次利用二次方程思想，一是构造利用为根的一元二次方程，解出两点的坐标，解决了与的关系；二是构造了以为根的一元二次方程，较为复杂.如果根据相切条件利用直线方程思想，只需构造一次便可得到关于直线AB的方程，从而求出直线AB的斜率.于是得到下面的一个简解.图6简解如图6，设由题意得直线方程为即与圆相切，化简得即同理可得由直线方程
7、思想得直线AB的方程为的直线方程为点评合理构造与斜率相应的直线方程，通过方程将未知量与已知量间的关系显性化，从而找到解决本题的简单方法.5转化与化归思想 数学对象的内部，或者不同的数学对象之间，往往会以某种形式相互联系，在一定的条件下能够相互转化，经过转化，能促进问题的解决.可以说，数学解题的过程就是不断化归与转化的过程.例6（全国理21）已知为坐标原点，为椭圆在轴正半轴上的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点，点满足（1）证明：点在上；（2）设点关于点的对称点为证明：四点在同一圆上. 分析证明四点共圆的等价方法很多，可以利用圆心到四个点的距离相等来证明；也可以通过四边形的两对角互补证明；也可以利用割线定理证明；也可以利用托勒密定理逆定理证明.这里利用“同底同侧等顶角的三角形”这一新方法证明.证明（1）设由消去得故由得将代入椭圆方程得故在上.（2）如图7，由（1）得故又由（1）知故又因为故由到角公式得故从而四点在同一圆上.点评等价转化思想是将难以解决的新问题转化为已解决问题的一种重要数学思想.解决复杂问题的关键是将条件中的隐性复杂关系通过某些手段显化为目标条件. 在数学学习中，若不研究数学思想的应用，所谓的解题方法就无基础，解题的过程只不过是简单的机械的活动而已.数学思想犹如一盏为船只指明航向的明灯，只要能自觉应用它指导解题，思路就能豁然开朗，解题自然成为一种享受. - 7 -
