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1、数列的通项公式与递推公式学习目标：1.递推公式是给出数列的一种方法，根据特殊的递推公式可以求出数列的通项公式.2.掌握把一些简单的数列变形转化为等差数列、等比数列的方法，体验解决数列问题的基本方法及理解运用的过程.学习重点：处理递推关系的基本方法.学习难点：通过变形转化成等差、等比数列的有关问题.1.利用数列的前项和，例1：各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk,且SkN*),其中a1=1.Z求数列ak 。解：当，由及，得当时，由，得因为，所以从而，故练习1：已知数列的前项和，则其通项；若它的第项满足，则练习2：设数列满足，求数列的通项。解： 验证时也满足上式，练习3：数列的前项和为，求数列的
2、通项解：（I）an+1=2Sn, Sn+1-Sn=2Sn, =3. 又S1a1=1,数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(nN*).当n2时，an-2Sn-1=23n-2(n2), an=练习4：已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，求的通项公式。解：由，解得或，由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为2利用递推关系21 递推关系 其中为常数 由递推式得，诸式相加，得 ，即为累加法求数列通项公式。例1：数列中，（是常数，），且成公比不为 的等比数列求的通项公式解：，因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故
3、当时，由于， ， ，所以又，故当时，上式也成立，所以练习1：已知数列满足，求数列的通项公式。解：当时， 当时，也满足上式，故。练习2：已知数列满足，且，求数列的通项公式。解：两边同除以，得，令，有： ，且，从而， 故 。22 递推关系 其中为常数由递推式得，诸式相乘，得 ，即为累乘法求数列通项公式。例1：已知数列的首项，其前项和，求数列的通项公式。解：由，得，所以 故，诸式相乘得，即 ，当时也满足上式。故 。练习1：数列满足且，求数列的通项公式。解：， 即，从而 。23 递推关系 其中为常数且 令，整理得，所以，即，从而，所以数列是等比数列。 例5：已知数列中，求的通项公式。 解： ，所以，数
4、列是首项为，公比为的等比数列， ，即的通项公式为，练习1：设数列的首项求的通项公式。解：由 整理得 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 练习2：已知数列：3，5，7，9，。另作一数列，使得，且当时，求数列的通项公式。解：由已知得，有， 所以，故 。练习3：数列中，设且，求数列的通项公式。 解：由 得，令，有，则 ，所以， 从而 ，故 。24 递推关系 其中为常数且，为非常数由递推式两边同除以，得，对此采用2. 1中所述的累加法可求。 例1：在数列中，其中求。解：由N可得所以为等数列，其公差为1，首项为0.故所以数列的通项公式为练习1：数列的前项和为且满足，求。 解：由 有：，两式相减得：
5、即：，两边同除以，得： ，令，则，从而 。 故。25 递推关系 其中为常数251 若时，即，知为等比数列，对此采用3. 1中所述的累加法可求。例1：已知数列满足，求数列的通项公式。解：由两边减去 得：，所以是公比为，首项为的等比数列，所以 ，即 ，即练习1：已知数列中，求数列的通项公式。解：由两边减去 得：，所以 是公比为，首项为的等比数列，所以，即 ，即 252 若时，存在满足，整理得，有，从而是等比数列，对此采用2. 4中所述的方法即可。3利用倒数变形，,两边取倒数后换元转化为。例1：已知数列满足：，求数列的通项公式。解：取倒数： 是等差数列，练习1：数列满足：，且，求 。解：将条件变为：
6、1，因此为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得 。练习2：数列满足：，求数列的通项公式。解：，所以，令，则，因而是首项为，公差为的等差数列，所以 ，故 。4利用归纳猜想例1：设正整数数列满足：，且对于任何，有（1） 求，；（2）求数列的通项解：由，猜想：下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由得因为时，所以 ，所以又，所以故，即时，成立由1，2知，对任意，练习1：已知点的序列，其中，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，（1）写出与之间的关系式（）。（2）设，计算， 并求出数列的通项公式。解：（1）当（2） 由此推测，下面用数学归纳法证明：假设当n=
7、k时公式成立，即成立，那么当n=k+1时 公式仍成立综上对任意公式都成立。5利用函数的不动点（方程的特征根）51 若数列满足，且是方程的最小根，则。 例1：已知数列满足，求数列的通项公式。 解：令，则是其最小根，得，由题意知，两边取对数，得，两边同时加1，得：，故是首项为公比为2的等比数列，所以 ， 故 。 52 若数列满足且。521 若方程有两个相异实根，则 。例1：已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得为其两根，所以有， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 故 。522 若方程有两个相等实根，且，则。 例1：已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得为其根，所以 ，所以数
8、列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 故 。53 若数列满足，若是方程的两个相异实根，则 例1：已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得为其两根，所以，两边取对数，得，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以 ， 故 。 达标练习1、已知数列满足,且，求通项2、已知数列中, , 求通项3、已知数列中, , 求通项4、已知数列中, 通项5、已知数列中, nN* 求通项6、数列中, ， ，求通项7、已知数列满足,，求通项8、已知数列满足, ，求通项9、已知数列满足,， 通项10、已知在数列中,11、已知数列中,nN* 求通项12、已知数列满足,，求通项13、已知：数列满足：=1， 求通项公式14、已知在数列中, 15、已知数列满足 ，求通项16、数列中, ， ，求通项17、已知数列中，求通项11
