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1、2 实际问题的函数建模1初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题2了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想1实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画用_的观点看实际问题，是学习函数的重要内容【做一做11】 一辆匀速行驶的火车90 min行驶了180 km，则这辆火车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式为( )Ay2t By120tCy2t(t0) Dy120t(t0)【做一做12】 据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2000年起，经过x年后
2、，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )Ay ByCy0.9550xm Dy(10.0550x)m2用函数模型解决实际问题函数模型是应用最广泛的数学模型之一许多实际问题一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数的_把握问题，使问题得到解决通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的_，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的_，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过_，得到_，再通过数据_得到的【做
3、一做21】 某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A一次函数 B二次函数C指数型函数 D对数型函数【做一做22】 一个水池每小时注入水量是全池的，水池还没有注水部分的总量y随时间x变化的关系式为_3函数建模(1)定义：用数学思想、_、_解决实际问题的过程叫作数学建模(2)过程：如图所示【做一做31】 (2010福州三中期中)某地区土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则与沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为
4、近似的是( )Ay0.2x By(x22x)Cy Dy0.2log16x【做一做32】 今有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则最佳体现这些数据关系的函数模型是( )Aulog2t Bu2t2Cu Du2t2答案：1函数【做一做11】 D【做一做12】 A2性质整体特征函数表达式实验数据拟合【做一做21】 D【做一做22】 y1，x0,10设满池为1，则有水的部分为1y，于是1yx，即y1，x0,103(1)方法知识(2)问题检验【做一做31】 C【做一做32】 C可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数
5、模型来刻画它散点图如图所示，由散点图可知，图像不是直线，排除D项；图像不符合对数函数的图像特征，排除A项；当t3时，2t22326，4，由表格知当t3时，u4.04，模型u能较好地体现这些数据关系1应用数学模型解决实际问题的步骤剖析：(1)认真审题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学问题，尤其是理解叙述中的名词、概念，以及题中单位之间的关系分析出已知是什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数的关系审题时要抓住题目中的关键量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想，实现实际问题向数学问题的转化(2)引进数学符号，建立数学模型设自变量为x，函数为y，用含
6、x的表达式表示各相关变量，根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识以及其他相关知识建立函数关系式，即建立数学模型(3)用数学方法将所得到的函数模型问题予以解答，求得结果(4)再转化成实际问题，进行检验作出规范解答简言之，可概括为“四步八字”，即审题建模求解还原2常见的几种函数模型剖析：(1)直线模型：一次函数模型ykxb(k0)，图像增长特点是直线式上升(x的系数k0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型ykx(k0)(2)反比例函数模型：y(k0)型，增长特点是y随x的增大而减小(3)指数函数模型：yabxc(b0，b1，a0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大
7、的速度越来越快(底数b1，a0)，常形象地称为指数爆炸(4)对数函数模型，即ymlogaxn(a0，a1，m0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢(底数a1，m0)(5)幂函数模型，即yaxnb(a0)型，其中最常见的是二次函数模型：yax2bxc(a0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大(a0)在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等题型一 用函数刻画实际问题【例1】 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假
8、设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图像反思：在解决实际问题的过程中，函数图像能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力另外，本例题涉及到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型题型二 已知函数模型的应用题【例2】 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？分析
9、：(1)转化为当v0时，求Q的值；(2)转化为当Q80时，求v的值反思：一般来说，若题中已给出数学模型，只要解数学模型即可，较常用的方法是待定系数法解模型，然后再利用相应的解析式及对应函数的性质解决实际问题题型三 建立函数模型的应用题【例3】 某旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满公司欲提高档次，并提高租金如果每间客房每日增加2元，客房出租就会减少10间，若不考虑其他因素，公司将房间租金提高多少时，每天客房的租金总收入最高？分析：列出函数的解析式，转化为求函数的最大值反思：当实际应用题中没有给出函数模型而函数模型又唯一时，其解题步骤是：(1)认真读题，审题，确切理解题意，明确
10、问题实际背景；(2)恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；(3)运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；(4)将所得函数问题的解还原成实际问题的结论题型四 拟合函数模型的应用题【例4】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示年序最大积雪深度x(cm)灌溉面积y(公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.13
11、6.9(1)描点画出灌溉面积y随最大积雪深度x变化的图像(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型yf(x)，并画出图像(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？分析：首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图像判断问题所适用的函数模型反思：对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题函数拟合与预测的一般步骤是：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图(2)通过考查散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲
12、线上，滴“点”不漏，那么这将是一件十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据答案：【例1】 解：(1)阴影部分的面积为501801901751651360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.(2)根据题图，有s这个函数的图像如图所示【例2】 解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v0，可得05log2，解得Q10，即燕
13、子静止时的耗氧量是10个单位(2)将耗氧量Q80代入所给公式，得v5log25log2815(m/s)即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.【例3】 解：设客房租金每间提高2x元时，客房租金总收入为y元，由题意得，y(202x)(30010x)20x2400x6 00020(x10)28 000(0x150，xN)，则当x10时，y有最大值为8 000，即将客房租金提高到2021040(元/间)时，每天客房租金总收入最高为8 000元【例4】 解：(1)描点作图如下：(2)从图中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型yabx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入yabx，得用计算器可算得a2
