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1、两角和与差的正弦、余弦、正切(3)教学目的:要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式教学重点:根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式教学难点:公式Ta+b ,Ta-b及运用授课类型:新授课课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1两角和与差的正、余弦公式 2求证:cosx+sinx=cos(x) 证:左边= (cosx+sinx)=( cosxcos+sinxsin)=cos(x)=右边又证:右边=( cosxcos+sinxsin)=(cosx+sinx) = cosx+sinx=左边2已知sina+sinb= , cosa+
2、cosb= ,求cos(a-b)解: 2: sin2a+2sinasinb+sin2b= 2: cos2a+2cosacosb+cos2b= +: 2+2(cosacosb+sinasinb)=1 即:cos(a-b)=二、讲解新课: 两角和与差的正切公式 Ta+b ,Ta-b1tan(a+b)公式的推导 cos (a+b)0tan(a+b)= 当cosacosb0时, 分子分母同时除以cosacosb得:以-b代b得:其中都不等于2注意:1必须在定义域范围内使用上述公式即:tana,tanb,tan(ab)只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱导公式来解 2注意公式的结构,尤
3、其是符号3引导学生自行推导出cot(ab)的公式用cota,cotb表示cot(a+b)= 当sinasinb0时,cot(a+b)=同理,得:cot(a-b)=三、讲解范例:例1求tan15,tan75及cot15的值:解:1 tan15= tan(45-30)= 2 tan75= tan(45+30)= 3 cot15= cot(45-30)= 例2 已知tana=,tanb=-2 求cot(a-b),并求a+b的值,其中0a90, 90b180 解:cot(a-b)= tan(a+b)=且0a90, 90b180 90a+b270 a+b=135例3 求下列各式的值:1 2tan17+t
4、an28+tan17tan28解:1原式= 2 tan17+tan28=tan(17+28)(1-tan17tan28)=1- tan17tan28原式=1- tan17tan28+ tan17tan28=1 四、课堂练习: 已知 ()求; ()求的值(其中) 分析: ()观察()的结构,直接代入公式;若改求呢? ()由()直接运用公式()容易求出的值但由已知的三角函数值求角时,所得的解不唯一的因此,必须根据已知条件进行分析,这就要确定的范围 计算下列各式的值 () () 分析:观察探求的结构,可以逆用公式()求解 计算的值 分析:因为,所以原式可以看成是 五、小结 两角和与差的正切及余切公式
5、, 解题时要多观察,勤思考,善于联想,由例及类归纳解题方法,如适当进行角的变换,灵活应用基本公式,特殊角函数的应用等是三角恒等到变换中常用的方法和技能六、课后作业:1 设是一元二次方程的两个根,求的值分析:易知,联想公式()与韦达定理求解 归纳:如果已知是一元二次方程的两个根,那么联想公式与韦达定理便于探求结论 2 已知是一元二次方程的两个根,求的值七、板书设计(略)八、课后记:1已知tan(),tan(),那么tan()等于2在ABC中,已知tanA,tanB是方程3x28x10的两个根,则tan等于( ) A2 B2 4 43在ABC中,若0tanAtanB1则AB一定是( )A等边三角形
6、 B直角三角形 锐角三角形 钝角三角形4= 5 (1tan10)(1tan35) 6在ABC中,tanA,tanB2,则C 7已知tan、tan是方程x25x60的两个实根,求2sin2()3sin()cos()cos2()参考答案:1C 2A 3B 4ta3 52 6 73 8证明ABn(n)的充要条件是tanAtanBtantanAtanBtan选题意图:考查两角和与差的正切公式的应用和求角的方法证明:(先证充分性)(nZ) (再证必要性)由ABn即ABn得tan(AB)tantanAtanBtantan(AB)(1tanAtanB)tantan(1tanAtanB)tantanAtanBtan说明:本题可考虑证明ABn(n)的充要条件是tanAtanBtantanAtanBtan较为简单9 求证:tan20tan30tan30tan40tan40tan201选题意图:考查两角和与差的正切变形公式的应用证明:左端说明:可在ABC中证明 6用心 爱心 专心