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1、含有绝对值的不等式的证明一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1） （2）（3） （4）请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？显然，当且仅当时等号成立（即在时，等号成立。在时，等号不成立）。同样，当且仅当时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用、及绝对值
2、的和的性质。二、典型例题：例1 证明 （1）， （2）。证明（1）如果那么所以如果那么所以 （2）根据（1）的结果，有，就是，。 所以，。例2 证明 。例3 证明 。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例4 已知 ，求证 证明 （1）， （2）由（1），（2）得：例5 已知 求证：。证明 ，由例1及上式，。注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。2
