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1、2.4 向量的运算、数量积教师下载中心教学点睛 向量是学习其它知识尤其是学习高等数学和普通物理的重要工具，故受到高考命题者的青睐.高考中，向量试题除单纯考查向量的概念及运算等知识外，常常与其它知识(如三角函数、解析几何、立体几何等)综合命题. 平面向量涉及的概念、运算法则和规律较多，复习时要与相关知识进行比较，避免混淆. 解决有关向量问题时,一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确进行向量的各种运算；二是要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解题中的应用.拓展题例【例1】已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t).若函数f(x)=ab在区间(-1，1)上是增函数
2、，求t的取值范围.分析：需先求函数f(x)的解析式，再由f(x)0在(-1，1)上恒成立，即可求出t的取值范围.解法一：依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t， 则f(x)=-3x2+2x+t. 若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上可设f(x)0.f(x)0t3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立. 考虑函数g(x)=3x2-2x，由于g(x)的图象是对称轴为x=，开口向上的抛物线，故要使t3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立tg(-1)，即t5. 而当t5时，f(x)在(-1，1)上满足f(x)0，即f(x)在(-1，1)上是增函数. 故t的
3、取值范围是t5.解法二：依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t.f(x)=-3x2+2x+t. 若f(x)在(-1，1)上是增函数.则在(-1，1)上可设f(x)0f(x)的图象是开口向下的抛物线.当且仅f(1)=t-10，且f(-1)=t-50时，f(x)在(-1，1)上满足f(x)0，即f(x)在(-1，1)上是增函数. 故t的取值范围是t5.【例2】已知=(2，1)，=(1，7)，=(5，1)，设M是直线OP上的一点(O是坐标原点)，(1)求使取最小值时的；(2)对(1)中求出的点M，求AMB的值.解：(1)设=(2,),=(1-2,7-), =(5-2,1-).=52-20+12， 当=2时，取最小值， 这时=(4，2).(2)=(-3，5),=(1，-1),cosAMB=. 又0AMB,AMB=arccos().【例3】 已知a=(sin,cos),b=(cos,sin),b+c=(2cos,0),ab=,ac=,求cos2(+)+tancot的值.解：设c=(x,y),则b+c=(cos,sin)+(x,y)=(x+cos,y+sin)=(2cos,0).c=(cos,-sin).ab=,ac=,tancot=5. 又sin(+)=,cos2(+)=1-2sin2(+)=.cos2(+)+tancot=+5=.2
