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1、数学专题之数学专题之 以三角形为基础以三角形为基础 精品解析精品解析 1 中考数学综合题专题训练中考数学综合题专题训练 以三角形为基础的综合题二以三角形为基础的综合题二 专题解专题解 析析 1 在锐角 ABC 中 AB 4 BC 5 ACB 45 将 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 得 到 A1BC1 1 如图 1 当点 C1在线段 CA 的延长线上时 求 CC1A1的度数 2 如图 2 连接 AA1 CC1 若 ABA1的面积为 4 求 CBC1的面积 3 如图 3 点 D 为线段 AB 中点 点 P 是线段 AC 上的动点 在 ABC 绕点 B 按逆时针方 向旋转过程中 点 P 的对应
2、点是点 P1 求线段 DP1长度的最大值与最小值 解 1 BC BC1 A1C1B ACB 45 又 A1C1B ACB 45 CC1A1 AC1B A1C1B 45 45 90 2 ABC A1BC1 BA BA1 BC BC1 ABC A1BC1 ABC ABC1 A1BC1 ABC1 BA BC BA1 BC1 ABA1 CBC1 ABA1 CBC1 2 2 S ABA1 S CBC1 AB BC 4 5 16 25 S ABA1 4 S CBC1 4 25 16 25 4 3 过点 B 作 BE AC 于点 E ABC 为锐角三角形 点 E 在线段 AC 上 在 Rt BCE 中 BE
3、 BC sin45 5 2 2 当 P 在 AC 上运动至垂足点 E ABC 绕点 B 旋转 使点 P 的对应点 P1落在线段 AB 上时 DP1最小 最小值为 2 5 2 2 当 P 在 AC 上运动至点 C ABC 绕点 B 旋转 使点 P 的对应点 P1落在线段 AB 的延长线 上时 DP1最大 最大值为 2 5 7 A B C P1 D C1 A1P 图 3 A B C C1 A1 图 2 A B C C1 A1 图 1 A B C D C1 A1 P1 P A B C P1 D C1 A1 P E 数学专题之数学专题之 以三角形为基础以三角形为基础 精品解析精品解析 2 2 如图 在
4、边长为 2 的等边 ABC 中 AD BC 于点 D 点 P 是边 AB 上的一个动点 过点 P 作 PF AC 交线段 BD 于点 F 作 PG AB 交 AD 于点 E 交线段 CD 于点 G 设 BP x 1 用含 x 的代数式表示线段 DG 的长 并写出自变量 x 的取值范围 2 记 DEF 的面积为 S 求 S 与 x 之间的函数关系式 并求出 S 的最大值 3 以 P E F 为顶点的三角形与 EDG 是否可能相似 如果能 求出 BP 的长 如果不 能 请说明理由 解 1 ABC 为等边三角形 B 60 AD BC PG AB BD BC 1 BG 2BP 2x 1 2 DG BG
5、 BD 2x 1 x 1 1 2 2 PF AC BPF 为等边三角形 BF BP x FD 1 x 在 Rt EDG 中 EGD 90 B 30 DG 2x 1 ED DG 2x 1 S FD ED 1 x 2x 1 1 2 1 2 即 S x 2 x x 1 1 2 S x 2 x x 2 1 3 4 1 2 3 4 当 x 时 S 有最大值 最大值为 3 4 3 4 3 EPF EGD 30 EDG 90 当 PEF GDE 时 如图 1 有 PEF 90 PFE 60 EFG 60 EF 2FD 又 PF 2EF PF 4FD x 4 1 x 解得 x 4 5 当 PFE GDE 时
6、如图 2 有 PFE 90 EFD 30 EF 2DE FD 又 PF EF PF 2FD 3 C A DFB E G P C A DFB E G P 图 1 C A DFB E G P 图 2 数学专题之数学专题之 以三角形为基础以三角形为基础 精品解析精品解析 3 x 2 1 x 解得 x 2 3 以 P E F 为顶点的三角形与 EDG 能相似 此时 BP 的长为 或 4 5 2 3 3 阅读理解阅读理解 如图 1 ABC 中 沿 BAC 的平分线 AB1折叠 剪掉重叠部分 将余下部分沿 B1A1C 的平分线 A1B2折叠 剪掉重叠部分 将余下部分沿 BnAnC 的平分线 AnBn 1折
7、 叠 点 Bn与点 C 重合 无论折叠多少次 只要最后一次恰好重合 我们就称 BAC 是 ABC 的好角 小丽展示了确定 BAC 是 ABC 的好角的两种情形 情形一 如图 2 沿等腰三角形 ABC 顶角 BAC 的平分线 AB1折叠 点 B 与点 C 重合 情形二 如图 3 沿 ABC 的 BAC 的平分线 AB1折叠 剪掉重叠部分 将余下的部分沿 B1A1C 的平分线 A1B2折叠 此时点 B1与点 C 重合 探究发现探究发现 1 ABC 中 B 2 C 经过两次折叠 BAC 是不是 ABC 的好角 填 是 或 不是 2 小丽经过三次折叠发现了 BAC 是 ABC 的好角 请探究 B 与
8、C 不妨设 B C 之间的等量关系 根据以上内容猜想 若经过 n 次折叠 BAC 是 ABC 的好角 则 B 与 C 不妨设 B C 之间的等量关系为 应用提升应用提升 3 小丽找到一个三角形 三个角分别为 15 60 105 发现 60 和 105 的两个角都是 此三角形的好角 请你完成 如果一个三角形的最小角是 4 试求出三角形另外两个角的度数 使该三 角形的三个角均是此三角形的好角 解 1 是 2 B 3 C B n C 提示 如图 在 ABC 中 沿 BAC 的平分线 AB1折叠 剪掉重叠部分 将余下部分沿 B1A1C 的平分线 A1B2折叠 剪掉重叠部分 将余下部分沿 B2A2C 的
9、平分线 A2B3折叠 点 B2与点 C 重合 则 BAC 是 ABC 的好角 证明 B AA1B1 C A2B2C A1B1C A1A2B2 A1A2B2 C A2B2C 2 C BAC B AA1B1 A1 B1C BAC 2 B 2C 180 BAC B C 180 B 3 C A B C B1B2BnBn 1 A1 A2 An 图 1 A B C B1B2B3 A1 A2 A BC B1 图 2 A BC B1 图 3 B2 A1 数学专题之数学专题之 以三角形为基础以三角形为基础 精品解析精品解析 4 故若经过 n 次折叠 BAC 是 ABC 的好角 则 B 与 C 不妨设 B C 之
10、间的等量 关系为 B n C 3 不妨设此三角形为 ABC 最小角为 A 4 设 B x C y 不妨设 x y 则 x my y 4n m n 均为正整数 由 A B C 180 得 4 4mn 4n 180 即 n m 1 44 m n 均为正整数 或 或 或 或 m 43 n 1 m 21 n 2 m 1 n 22 m 10 n 4 m 3 n 11 当 m 43 n 1 时 B 172 C 4 当 m 21 n 2 时 B 88 C 88 当 m 1 n 22 时 B 168 C 8 当 m 10 n 4 时 B 160 C 16 当 m 3 n 11 时 B 132 C 44 所以该
11、三角形另外两个角的度数为 4 172 或 88 88 或 8 168 或 16 160 或 44 132 4 1 如图 1 在 ABC 中 BA BC D E 是 AC 边上的两点 且满足 DBE ABC 0 CBE ABC 以点 B 为旋转中心 将 BEC 按顺时针方向旋转 ABC 1 2 1 2 得到 BE A 点 C 与点 A 重合 点 E 到点 E 处 连接 DE 求证 DE DE 2 如图 2 在 ABC 中 BA BC ABC 90 D E 是 AC 边上的两点 且满足 DBE ABC 0 CBE 45 求证 DE 2 AD 2 EC 2 1 2 1 证明 由题意得 BE A BE
12、C BE BE E BA EBC DBE ABC ABD EBC ABC 1 2 1 2 E BD ABD E BA ABC 1 2 E BD EBD 又 BD BD E BD EBD DE DE 2 证明 如图 将 BEC 绕点 B 按逆时针方向旋转 90 点 C 与点 A 重合 点 E 到点 E A B C 图 2 E D A B C E 图 1 E D 数学专题之数学专题之 以三角形为基础以三角形为基础 精品解析精品解析 5 处 连接 DE 则有 AE CE E AB ECB 在 ABC 中 BA BC ABC 90 BAD ECB E AB 45 E AD E AB BAD 90 E
13、AD 是直角三角形 DE 2 AD 2 AE 2 由 1 知 DE DE DE 2 AD 2 EC 2 5 等边 ABC 的边长为 2 P 是 BC 边上的任一点 与 B C 不重合 连接 AP 以 AP 为边 向两侧作等边 APD 和等边 APE 分别与边 AB AC 交于点 M N 如图 1 1 求证 AM AN 2 设 BP x 若 BM 求 x 的值 3 8 记四边形 ADPE 与 ABC 重叠部分的面积为 S 求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的 最小值 连接 DE 分别与边 AB AC 交于点 G H 如图 2 当 x 取何值时 BAD 15 并 判断此时以 DG GH H
14、E 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形 请说明 理由 1 证明 ABC APD 和 APE 是等边三角形 AP AD DAP BAC 60 ADM APN 60 DAM PAN ADM APN AM AN 2 易证 BPM CAP BM CP BP CA BM AC 2 CP 2 x 可得 4x 2 8x 3 0 3 8 解得 x 或 1 2 3 2 四边形 AMPN 的面积即为四边形 ADPE 与 ABC 重叠部分的面积 ADM APN S ADM S APN S四边形 AMPN S APM S APN S AMP S ADM S ADP 过点 P 作 PS AB 垂足为 S 如图
15、在 Rt BPS 中 B 60 BP x A BC E D P MN 图 1 A BC E D P M N 图 2 G H A B C E D E A BC E D P M N T S 数学专题之数学专题之 以三角形为基础以三角形为基础 精品解析精品解析 6 PS BP sin60 x BS BP cos60 x 1 2 AB 2 AS AB BS 2 x 1 2 AP 2 AS 2 PS 2 2 x 2 x 2 x 2 2x 4 1 2 取 AP 的中点 T 连接 DT 在等边 ADP 中 DT AB S ADP AP DT AP AP AP 2 1 2 1 2 S S四边形 AMPN S
16、ADP AP 2 x 1 2 0 x 2 当 x 1 时 S 的最小值是 连接 PG 若 DAB 15 DAP 60 PAG 45 易证四边形 ADPE 为菱形 DO 垂直平分 AP GP AG PAG APG 45 PGA 90 设 BG t 在 Rt BPG 中 ABP 60 BP 2t PG t 3 AG PG t t t 2 求得 t 1 BP 2t 2 2 3333 当 BP 2 2 时 DAB 15 3 猜想 以 DG GH HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形 方法 1 设 DE 交 AP 于点 O 等边 APD 和 APE AD DP AP PE EA 四边形 ADPE 为菱形 AO DE ADO AEH 30 DAB 15 易得 AGO 45 HAO 15 EAH 45 设 AO a 则 AD AE 2a GO AO a OD a 3 DG DO GO 1 a 3 DAB 15 BAC 60 ADO 30 DHA DAH 75 DH AD 2a GH DH DG 2a 1 a 3 a 33 HE DE DH 2DO DH 2a 2a 2 1 a 33 DG 2
