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1、第六章多目标问题的优化设计方法 6 1引言 6 2基本概念和定义 6 3协调曲线法 6 3统一目标函数法 6 4功效系数法 6 5有限个方案的多目标决策方法 1 6 1引言 二 多目标问题的数学模型 设X x1 x2 xn Tmin F x X Rns t gu x 0u 1 2 mhv x 0v 1 2 p n 在机械设计中 某个设计方案的好坏仅涉及一项设计指标 称它为单目标优化设计问题 对于这种问题 应用前面介绍的优化设计方法就可以直接解得最优设计方案 然而 在许多实际问题中 对一个设计方案往往期望几项设计指标同时达到最优值 这种在优化设计中同时要求两项或几项设计指标达到最优值的问题统称为
2、多目标优化设计问题 一 概念 2 6 2基本概念和定义 二 最优解与选好解 劣解与非劣解 0 f2 f1 1 3 2 4 6 5 对于f1 x 1最好 其次为3 2 4 5 6 对于f2 x 2最好 其次为3 1 5 4 6 综合考虑 1 2 3为非劣解 4 5 6为劣解 一 多目标最优决策 多属性选择决策问题 多目标问题是在无限个方案下按最优规则确定最优方案的 称为多目标最优决策 那么还有另一类多目标问题 即在有限个方案下按照它们的属性 性能指标 以满意规则选择一个方案或按某个准则排列出完全的次序 则这类多目标问题称为多属性选择决策问题 3 6 2基本概念和定义 非劣解x 的定义 多目标优化
3、中 x 是其中一个解 对于x D 若下式成立 为x 非劣解 多目标优化的K T非劣解 x D 若不存在搜索方向S 能同时满足 例 图中的T P点 则x 为K T非劣解 例 图中的Q S点 其中 4 6 2基本概念和定义 劣解 除去非劣解的其它解 即为劣解 选好解 非劣解中 满足工程实用目的的最好解 最优解 使各个分目标函数同时达到最优值的解 例如有一个2维 x R2 的两个目标函数f1 x 和f2 x 求极小化的约束问题 a 设计空间 b 目标函数 5 6 2基本概念和定义 如图所示 设计空间内的可行点映射到目标空间内可得到可行解的解集 很明显 在这种情况下 一些目标函数值比较小的最优解集中在
4、Q1 Q2曲线段上 这些解称它为非劣解或有效解 而把目标空间可行解集 内的其他解称为劣解 因为它们的目标函数值都比非劣解要差 多目标函数问题的优化设计过程 1 先求非劣解 2 从非劣解中选出选好解 常用的求选好解的方法 1 协调曲线法 2 统一目标函数法 目标规划法 线性加权因子法3 功效系数法 另外 还有分层序列法 词典编辑法 边界目标函数法等 6 6 2基本概念和定义 例 求1维2个目标函数问题的非劣解的解集 数学模型如下 解 对此问题很容易求出2个目标函数在D域中的各自的最优解x1 1 f1 x1 1和x2 3 f2 x2 1 如下图 a 所示 显然 此问题不存在共同的最优解 但可求出它
5、们的非劣解的解集 由图可见 两个目标函数曲线有一交点 x f1 x f2 x 2 2 于是我们发现 在x1 Q1点左边任选一点A 0 A x1 其两个目标函数值都比x1 点的差 同样 在x2 Q2右边任选一点B x2 B 4 其目标函数值也比x2 点的差 然而对于 x1 x2 之间的各点 两个目标函数值之间又无法比较其优劣 且也找不到它们共同的最优点 因此我们认为在 x1 x2 之间的任一点都可作为非劣解 而其他的点都是劣解 映射到目标空间的非劣解和劣解的解集如下图 b 所示 即曲线Q1 Q2段是非劣解的解集 其余为劣解的集合 7 6 2基本概念和定义 a 设计空间 b 目标空间 从某种意义上
6、说 非劣解解集 Q1 Q2曲线 中的任一点都可以作为多目标问题的最终解 但通常是根据不同的要求 从中选出一个满意的解作为最终的解 称它为选好解 例如 图 b 中取f1 x f2 x 2 x 2这个非劣解 8 6 2基本概念和定义 对于多目标优化模型 若x 是它的一个解 且在可行解空间内 对一切x 其fj x fj x j 1 2 q 恒成立 则称x 为多目标优化问题的绝对最优解 在多目标问题中 是否存在这样的解 使所有的目标函数值都同时达到最优值 这种情况只有在某些特殊情况下才有可能出现 如下图 a 一维 b 二维 9 6 3协调曲线法 一 基本思想 在多目标优化设计中 当各分目标函数的最优值
7、出现矛盾时 先求出一组非劣解 以其集合得出协调曲线 再根据恰当的匹配关系得到满意曲线 沿着满意程度的增加的方向 各分目标值下降 直至获得选好解 f1 X 4 f2 X 9 当f2 9时 极小化f1得D点当f1 4时 极小化f2得E点DE的延长线AB为协调曲线 二 协调曲线与满意曲线 协调曲线 双目标函数的协调曲线 10 6 3协调曲线法 满意曲线 是一个指标 根据各分目标函数之间互相作出让步后 得出恰当的匹配关系 多目标函数的协调超曲面 用以上数学模型依次求得各分目标函数的变化范围 选好解 包括x 和f1 x f2 x fq x 11 6 3协调曲线法 三 协调曲线的做法 如右图所示 设有两个
8、相互矛盾的目标函数f1 x 和f2 x 并且由两个不等式的约束条件构成一个可行域D 两个分目标的各自约束最优解是 f1 x 1 为T点 f1 x 2 为P点 若可行域D内任取一点R 此点的f1 x 6 f2 x 8 当固定f1 x 6时 极小化f2 x 得S点 当固定f2 x 8时 极小化f1 x 得Q点 在这种情况下 前者由于目标函数f2 x 不断得到改进 后者由于目标函数f1 x 得到改进 所以无论是S点还是Q点都要比R点优 采用这种方法 便可以取得一组多目标问题K T的非劣解 若将这些非劣解画在两个目标函数值的坐标系内 如上图 则得两个目标函数值的关系曲线T Q S P 在这条曲线上 Q
9、和S点之间任一点 其函数值都要比R点好 因为至少有一个目标函数值得到了改进 所以将T Q S P曲线称为协调曲线 12 6 3协调曲线法 13 6 3协调曲线法 例 径向动压轴承的优化设计 设计要求 选好解 0 04820 3满足0 0068597 5 18cm3 sec 14 6 3协调曲线法 协调曲线 Q t曲线包括了所有满足K T条件的非劣解 分析 设计变量为 L D c 分目标函数为 供油量Q 温升 t 约束条件 见前页 性能曲线 是 t与其它参数之间的关系曲线 可看出各项指标之间的匹配关系 选好解 从协调曲线和性能曲线中可得出结论 S点为较好方案 15 6 3协调曲线法 多目标优化
10、按协调曲线法进行多目标优化设汁 比较适用于两个目标函数极小化时出现相互矛盾的情形 因为这时通过画出协调曲线便可以比较透彻地分析各目标与设计方案的依存关系 从而可以发现设计的改进方向 作出比较满意的设计 对于两个以上分目标函数的问题 虽然仍可以应用 但协调曲线变为多维抽象的协调曲面 这些曲面不可能用图形表示出来 只能给出各目标函数值的变化范围 其值可按如下的数学模型依此求得 即 16 6 4统一目标函数法 评价函数法 一 基本思想 按事先约定的某种关系 建立一个新的目标函数 将多目标问题转化为单目标问题求解 按构筑新目标函数的方法不同 有以下不同方法 二 目标规划法 理想点法 先给每个分目标函数
11、设定一个理想的最合理值 再设法使各分目标尽可能达到最合理值 17 6 4统一目标函数法 1 平方加权和法 全局准则法 以各分目标函数值对各自的理想最合理值相对偏差的平方加权和趋于最小作为全局准则 其中 wj为加权因子 0 wj 1 取决于各分目标函数的数量级和重要程度 一般P取2 18 6 4统一目标函数法 2 标度因子法 19 6 4统一目标函数法 3 偏差法 使各目标函数值偏离所定的目标函数理想值的偏差量最小 20 6 4统一目标函数法 三 乘除法 目标函数中有一些属于费用类 即目标函数值越小越好 有一些属于效果类 即目标函数值越大越好 总目标函数表达式中为了能统一表达 采用了乘除法 线性
12、加权组合法等方法 设q个分目标函数中有s个属于费用类 q s个属于效果类 总目标函数表达式如下 四 线性加权组合法 21 6 4统一目标函数法 五 目标函数的规格化 当各分目标函数值在数量级上有很大差别时 可先做一次规格化 以三角函数 指数 线性或二次函数等作为转换函数 使目标函数值规范在 0 1 之间 22 6 4统一目标函数法 六 加权因子的选择 1 容限值法 目标函数是平方误差值时使用 可起平衡各目标函数数量级的作用 2 两项加权因子 用于一般情况 适用于有导数信息的情况 23 6 4统一目标函数法 适用于无导数信息的情况 例1 有下列两个一维的分目标函数 试用加权因子线性组合法 求此多
13、目标函数的选好解 D 24 6 4统一目标函数法 解 25 6 4统一目标函数法 例2 解 由于此两个目标函数的量级差别较大 所以需先将其转换为规一化目标函数 然后再作线性组合求解 由题意知 在D上两个目标函数的上下界值分别为 1 1000 1 1100 2 1 2 2 采用简单的线性函数转换可得新目标函数分别为 由此所建立的统一目标函数为 26 6 4统一目标函数法 27 6 5功效系数法 一 基本思想 给每一个分目标函数值一个评价 以功效系数dj 0 dj 1 表示 对于一个设计方案xk F xk 有q个分目标函数值f1 xk f2 xk fq xk 对应q个功效系数d1 d2 dq 以各
14、功效系数的几何平均值为方案的评价函数d 二 功效系数和功效函数 1 功效系数dj 表示对于分目标函数值fj x 的满意程度 若dj 1 表示效果最好 非常满意 dj 0 表示效果极差 方案不可取 28 6 5功效系数法 2 功效函数dj j fj 描述dj与fj之间的关系 有三种类型 a 越大越好 fj dj fj dj b 越小越好 fj dj fj dj c fj取合适的值时 dj最大 fj比此区间大或小 dj均 29 6 5功效系数法 例 门式起重机变幅四杆机构的优化设计 有四个要求 这三个要求都属于第二类功效函数 30 6 5功效系数法 倾覆力矩值M M 当变幅距离较小时 希望有负倾覆力矩M1 能恢复机构的正常位置 1020时 d4 0 当变幅距离较大时 希望有正倾覆力矩M1 能恢复机构的正常位置 030时 d5 0 这两个要求都属于第三类功效函数 总功效系数 31 6 5功效系数法 四 方法评价 直观 只要有一项dj 0 则d 0 可直接判断方案不可取 在工程中使用较为有效 系数均在 0 1 之间 数量级一致 易处理第三类功效函数 分析计算较复杂 32
