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1、应用根与系数关系莫忘判别式湖北省黄石市下陆中学宋毓彬一元二次方程中根与系数的关系称作韦达定理。韦达定理在解决与一元二次方程有关的实际问题中有着广泛的应用。但在应用韦达定理时，很多同学往往忽视一个重要制约条件，这就是要先保证该一元二次方程有实数根（满足根的判别式），如果一元二次方程没有实数根，则也不存在根与系数的关系。因此，我们在应用韦达定理时要牢记判别式条件。例 1已知 x 、x 是方程 2x 2x+13m=0 的两个实数根，且 x x +2（ x +x ）0，那么实数 m 的取值范围是 。解析：方程有两个实数根，则（-2） 42（13m）0，m由韦达定理 x +x =1，x x = ，又 x
2、 x +2（ x +x ）0即有 +20 m 实数 m 的取值范围是 m点拨：应用韦达定理的前提是要保证方程存在实数根。例 2若关于 x 的一元二次方程 3x +3（a+b）x+4ab=0 的两个实数根 x 、x 满足关系式 x （ x +1）+ x （x +1） =（x +1）（x +1），判断（a+b） 4 是否正确？若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例。解析：由 x （ x +1）+ x （x +1）=（x +1）（x +1）， 变形得：（x +x ） 3 x x 1=0 由韦达定理有 x +x =（a+b），x x = ab即有（a+b） 4ab 1=0 （a+b） =4ab+1方
3、程有两个实数根，由根的判别式 9（a+b） 48ab0，（a+b） ab 4ab+1 ab，可得 4ab 3 （a+b） =4ab+14。点拨：由根的判别式作中间条件推导出 4ab3 是本题的解题关键。例 3设 x 、x 是方程 2x 4mx+2m +3m2=0 的两个实数根，当 m 为何值时 x+x 有最小值？并求出这个最小值。解析：由根的判别式 16 m 8（2m +3m2）0， m由韦达定理有 x +x =2m，x x =设 y= x +x =（x +x ） 2 x x =4 m （2m +3m2）=2 m 3m+2=2（m ） +y 关于 m 的二次函数对称轴 m= ，m 时，y 随
4、m 的增大而减小m= 时，y 有最小值，即 x +x 有最小值。最小值为：2（ ） + =点拨：由根的判别式确定 m 的取 值范围，从而正确地确定二次函数区间上的最小值。练习：1若关于 x 的方程 2x 2x+3m1=0 有两个实数根 x 、x ，且x x x +x 4，则实数 m 的取值范围是（ ）。Am ； B。m ； C。m ； D。 m2ABC 的一边长为 5，另两边长恰为方程 2x 12x+m=0 的两根，则 m 的取值范围是 。（1参考答案：B；2点拨：由方程两根之差小于第三边，结合韦达定理、判别式可求得 m18）作者简介：宋毓彬，男，43 岁，中学数学高级教师。在 中学数学教学参考、 数理天地、中学生数学、数理化学习 、数理化解 题研究、中学课程辅导、数学周报、数学辅导报、数理报、少年智力开发报 、学习报、 小博士报等报刊发表教学辅导类文章 60多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。
