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1、函数的单调性、奇偶性复习教案一、函数的单调性一、函数的增减性即函数的单调性直观的说：在某区间上，增函数 图象上升减函数图象下降二、函数的增减性即函数的单调性准确的说：设函数y=f(x)的定义域为A,区间DA.区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，（1）x1x2时，都有f(x1 ) f(x2) f(x)在区间D上是单调增函数即上是增函数；（2）x1x2时，都有f(x1 )f(x2) f(x)在区间D上是单调减函数 即上是减函数. 单调性：注意，只要一说起单调函数，一定存在单调区间，并且判断单调性不能跨区间进行讨论。三 证明函数f(x)在区间M上具有单调性的方法：定义法 ； 图像法； 性质1.函
2、数在定义域上是单调函数，且0，那么在同一定义域上，、与单调性相反；、与单调性相同2.对于两个函数而言：增函数+增函数=增函数 增函数-减函数=增函数减函数-增函数=减函数 减函数+减函数=减函数四、证明函数f(x)在区间M上具有单调性的方法：利用定义利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x10,0f(x)在3，5上是减函数（2）f(x)在3，5上是减函数类型二 已知单调性求参数值或取值范围例：函数当时是增函数，时是减函数，求值。分析：由题意知对称轴所以4：（1）函数在区间 上是减函数，求实数的取值范围。(2)已知在区间是增函数，求的取值范围。类型三
3、利用函数的单调性解不等式(1) 由函数的单调性的定义知：已知数y=f（x）在定义域的某个区间为增函数，若x1x2，则f（x1）f（x2），反之，若f（x1）f（x2）时，则x1x2。(2) 当y= f（x）在定义域某个区间上为减函数时，若x1x2，则f（x1）f（x2），反之，若f（x1）f（x2）则有x1x2。例:函数f(x)在(0, +)上是减函数,比较f(a2a+1)与f()的大小. 解: a2a+1=+0 又因为f(x)在(0, +)上为减函数.所以f(a2a+1)f() 注意:本题的关键是利用函数在(0, +)上单调性.例3.已知f(x)在它的定义域17，+）上是增函数,且f(3)=
4、0,试解不等式f(7x5)0。 解:因为f(3)=0, 所以原不等式等价于f(7x5)0时，f(x)=2x(1-x),求：当x0时，f(x)的表达式.解：由y=f(x)是定义域为R的奇函数，知 f(-x) =-f(x) 当x0，当x0时， f(x)= 2x(1-x), x0时f(x)=-f(-x) =-2（-x）1-(-x)= 2x(1+x) 即x0时f(x）= -2x(1+x例 已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，-x0，当x0时f(x)=-f(-x) = -(-x)2-2(-x)-1= -x2-2x+1, 即x0时f(x）=-x2-2x+1 当x=0时，f(-0)=-f(0)即
5、f(0)=0 ，练习：已知y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)=x2-2x,求x0时f(x)的解析式。3.设f(x)与g(x)分别为奇函数和偶函数，若f(x)-g(x)=，求 f(x)、g(x).3.利用函数的奇偶性，求函数值1)f(x)是R上的奇函数，则f(0)= 0，若f(-8)=-6，则f(8) = 6 , f(x)是R上的偶函数，若f(-8)=-6，则f(8)= -62已知函数f(x)=ax3 +bx+2，且f(-5)=7，则f(5) = _.解法一： f(-5)=7 即 a(-5)3+b(-5)+2=7125a+5b=-5 f(5) = a53+b5+2=125a+5
6、b+2 f(5) =-5+2=-3解法二： f(x)=ax3+x2+bx+2 化为 f(x) -2 =ax3+bx 令 g(x)=ax3+bx则 g(x)是奇函数，且 g(x)= f(x) -2 . g(-5)+ g(5)=0,即f(-5) -2+ f(5)-2=0f(-5)=7 ， f(5) =-34.已知函数的奇偶性，求参数的值1.已知函数f(x)=ax2+bx+5是定义在区间(2a-3，1)上是偶函数，则a=_，b=_解奇、偶函数的定义域关于原点对称2a-3+1=0a=1f(x)= x2+bx+5因为f(x) 是偶函数所以f(-x)= f(x),即f(-x)-f(x)=0（-x）2+b（
7、-x）+5-（x2+bx+5）=0 -2bx=0b=02、已知是奇函数，试求a的值；解法一。因为f(x) 是奇函数所以f(-x)= -f(x),即f(-x)+f(x)=0所以+ =0a=0解法二：函数是奇函数，并在零点处有定义，则它在零点处的函数值一定是0即f(0)=0由f(x)知f(0)=aa=05。函数的奇偶性与单调性的关系重要结论：1).奇函数f(x)在a，b上是增函数，则f(x)在-b，-a上也是增函数。奇函数f(x)在a，b上是减函数，则f(x)在-b，-a上也是减函数。即奇函数在其对称区间上单调性是一致的。2.)偶函数f(x)在a，b上是增函数，则f(x)在-b，-a上是减函数。偶
8、函数f(x)在a，b上是减函数，则f(x)在-b，-a上是增函数。即偶函数在其对称区间上单调性是相反的。例.函数 y=f(x) 是偶函数, 且在a，b上是减函数，证明: y=f(x)在-b，-a上是增函数。证明：设 -bx1 -x2a， 已知f(x)在a，b上是减函数， f(-x1) f(-x2) . 又 f(x)是偶函数， f(x1) f(x2) . 由此可知，函数y=f(x)在-b，-a上是增函数。 2. 已知函数 y=f(x) 是奇函数, 且在a，b上是减函数，证明: y=f(x)在-b，-a上是增函数。奇偶性与单调性的综合运用1、已知奇函数在定义域-2,2上递减，求满足的实数的取值范围
9、.解：是奇函数又奇函数在定义域-2,2上递减,解得.2已知函数是R上的偶函数，且在（-，上是减函数，若，则实数a的取值范围是（ ）知识分析：若是偶函数，利用为偶函数的特性：=,将x（,+）的问题退到|x| 上来解.解题分析：是R上的偶函数可化为是R上的偶函数且在（-，上是减函数在上是增函数a-2或a23.是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的取值范围是_练习： 1：若函数，那么（）A、B、C、D、2. 奇函数在上是增函数，且有最大值为，则在上的单调性为，且有最 值为。 3若奇函数在上为增函数，且有最小值0，则它在上（ ）A是增函数，有最大值0 B是增函数，有最小值0 C是减函数，有最大值0 D是减函数，有最小值04若为定义在（-，+）上的偶函数，且在（-，0）上为减
