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1、第04讲 解三角形及应用问题广东高考考试大纲说明的具体要求：（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。（一）基础知识梳理：1解三角形的主要依据： （1）勾股定理：在RTABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则c2=_;（2）三角形的内角和定理：在ABC中，A+B+C=_, 其中A，B，C_;（3）三角形的面积公式：S=_=_=_;（4）正弦定理：在ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则_;（5）余弦定理：在ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则a2=_,b2=_
2、 _, c2=_;2解三角形的主要题型：在ABC的六个边、角元素中，已知其中任意三个（至少有一个是边），就可以求出其他元素。（1）已知两角一边：用_定理求解；（2）已知两边及一边的对角，求角：用_定理求解；（3）已知两边及一边的对角，求第三边：用_定理求解；（4）已知两边及其夹角，求第三边：用_定理求解；（5）已知三边：用_定理求解；（二）典型例题分析：题型一：基本题型， 知三求三例1：（1）（2005北京文）在ABC中，AC=，A=45，C=75，则BC的长为 （2）(2008陕西文) 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若,则 （3）在ABC中，则ABC的最大角是_。基础训练（一）：1
3、ABC中, a=2 , b=2, A=30,则B等于（ ） A60 B60或120 C30或150 D1202符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） Aa=1,b=2 ,c=3 Ba=1,b= ,A=30 Ca=1,b=2,A=100 Db=c=1, B=453.在ABC中，则角C为 （ ）（A） （B） （C） （D）或 4（2006江苏）在ABC中，已知BC12，A60，B45，则AC5（2006全国卷理）已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为 题型二：解三角形的综合应用：例2. 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, A
4、B=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长.基础训练（二）：1. 在ABC中，bcosA=acosB，则ABC的形状是 （ ）（A）直角三角形 （B）锐角三角形 （C）等腰三角形 （D）等边三角形2.(2008四川文)的三内角的对边边长分别为,若,则( )（）（）（） （）3.（2006上海春招） 在中，已知，三角形面积为12，则 .4. 在ABC中，三个内角成等差数列，相对应的三边成等比数列，判断这个三角形的形状，并证明你的结论。5.(2007上海文、理) 在中，分别是三个内角的对边若，求的面积6(2008全国卷文)设的内角所对的边长分别为，且， （）求边长； （）若的面积，求的
5、周长题型三：解三角形的实际应用：例3.(2007海南、宁夏文、理)如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高例4.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西15，相距海里C处的乙船。试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？（说明：此题是依据2006上海文、理试题改编）基础训练（三）：1两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km), 灯塔A在C北偏东30,B在C南偏东60,则A,B之间的相距 （ ） Aa (km) Ba(km) Ca(km
6、) D2a (km)2从某电视塔的正东方向的A点处，测得电视塔顶的仰角是60；从电视塔的正西偏南30的B处，测得电视塔顶的仰角为45，A、B间距离是35m，则此电视塔的高度是_米.3.（2007山东理）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？4(2008上海文、理)如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路
7、，且拐弯处的转角为已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）5如图，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东、港口B北偏西方向上一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O一艘快船从港口B出发，以60海里/小时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？BC北东OA6.某观测站C在目标A的南偏西方向，从A出发有一条南偏东走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路上B有一
8、人正沿着此公路向A走去，走20km 到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D处距A 还有多远？ 参考答案第04讲 解三角形及应用问题 （二）典型例题分析：题型一：基本题型， 知三求三例1：（1） （2） （3）_120_。基础训练（一）：1 B 2D 3.B. 4. 5题型二：解三角形的综合应用：例2. 解：在ABD中，设BD=x , 则即 整理得：解之： （舍去）由余弦定理： 基础训练（二）：1.C. 2. 3.4. 解：ABC为等边三角形。证明：由A，B，C成等差数列，得A+C=2B，A+B+C=180O，解得，B=60O,又三边a、b、c成等比数列，所以b2=ac,由余弦定理，得b
9、2=a2+c2-2accos60O,即ac=a2+c2-ac, (a-c)2=0,所以a=c，所以，ABC为等边三角形。5. 解： 由题意，得为锐角， ， 由正弦定理得 ， 6. 解：（1）由与两式相除，有：，又由知：， 所以，所以，解得（2）由=10，得到由余弦定理，得，解得：， 所以，的周长 题型三：解三角形的实际应用：例3.解：在中，由正弦定理得所以在中，例4.解：连接BC,在中，BAC=105而cos 105= cos (60+ 45)=, sin105= ,由余弦定理得BC2=202+()2220cos 105=400+200. 于是 BC=10. 由正弦定理，得 , sinACB=
10、, ACB90 ACB=45答：乙船应朝北偏东60方向沿直线前往B处救援.基础训练（三）：1C 2.3.解：如图，连结，是等边三角形，在中，由余弦定理得，因此乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行海里.4解: 设该扇形的半径为r米. 由题意，得DCD=500（米），DA=300（米），CDO= 在中， 即 解得（米）. 5解：设快艇驶离港口B后，最少要经过小时，在上点处与考察船相遇，连接，则快艇沿线段，航行在中，DBC北东OA又，快艇从港口到小岛需要1小时在中，由余弦定理，得解得或，答：快艇驶离港口B后最少要经过3小时才能和考察船相遇6.解：如图，在BCD中，由余弦定理，得，在ACD中，A=60O，所以=，由正弦定理，得，所以。答：此人在D处距A 还有15km.用心 爱心 专心
