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1、1.2.2 函数的表示法疱丁巧解牛知识巧学升华一、函数的表示方法 表示函数常用的三种方法是解析法、图象法、列表法 .1.解析法（公式法） 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这个表达式叫做函数的解析表达式，这种表达函数的方法叫做解析法.如y=2x-1，y=x2-2x-3，y=等. 解析法的优点在于：一是从“数”的方面简明、全面地概括了变量间的数量关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.解析法是表示函数的一种最重要的方法.但并不是所有的函数都能用解析法去表示.2.图象法 通过函数图象表示两个变量之间的关系的方法. 图象法的优点是能够直观形象地表示自变量的变化，相应的函数
2、值的变化趋势也一目了然.可以通过图象来研究函数的某些性质，它从“形”的方面刻画了函数关系. 函数的图象不一定是一条连续的曲线，也可以由一些孤立的点、线段等图形构成.3.列表法 通过列出自变量与对应函数值来表达函数关系的方法叫做列表法. 例如，火车站的列车时刻表，银行发行的利率表，工厂中每月的产值及利润报表，甚至我们历次考试的成绩一览表等.又例如，新中国成立后共进行了五次人口普查，各次普查得到的人口数据如下表所示.这张表清楚地表达了年份与当年我国总人口（单位：亿）的函数关系.从这张表，我们可从年份查出当年我国的人口总数.年 份19531964198219901995总人口数（亿）5.96.910
3、.111.012.1 从这张表中，我们能清楚地看出这个函数的定义域为1953，1964，1982，1990，1995，值域为5.9，6.9，10.1，11.0，12.1. 利用列表法表示的函数也可解决相应的数学问题.列表法也是表示函数的一种方法，它常适合于定义域是有限集的函数，列表时要注意自变量与函数值应对应，所列图表是否是函数的唯一依据仍然是函数的定义. 列表法是表示函数的一种方法，此法的优点是不需计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.二、分段函数 函数的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系不是只满足一个式子，而是在不同范围内有不同的对应关系，这样的函数关系是分段函数.分段函数是
4、一个函数而不是几个函数.如教材中例5、例6所体现变量之间的函数关系都是分段函数. 分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，这一点与函数y=的定义域的求法不相同，如函数y=的定义域为x|0x1x|x1=x|x0.作分段函数的图象时，特别注意接点处点的虚实， 如函数y=的图象为（见右上图）： 分段函数的表示法是解析法的一种形式.函数y=不能写成y=22-6x，0x11或y=-44，x11. 要点提示 注意此处空半格注意写分段函数定义域时，区间端点应不重不漏.理解分段函数是一种函数，而不是几个函数. 三、函数的图象 对于函数y=f（x）（xA），定义域内每一个x值都有唯一的y值与它对应，把这两个
5、对应的数构成的有序实数对（x，y）作为点P的坐标，记作P（x，y），则所有这些点的集合F叫做函数y=f（x）的图象.1.作函数图象的基本步骤（1）先求函数定义域；（2）化简函数解析式；（3）列表；（4）描点；（5）连线. 作图时，应注意抓住函数的特征，如抓住定义域的分界值，图象上的特征点（与x轴、y轴的交点等），图象随x增大的趋势等来辅助作图.2.带绝对值号的简单函数的图象 作该类函数图象的基本方法是：先求函数的定义域，然后化简函数解析式，就是去绝对值号.（1）带一个绝对值号的函数，根据绝对值的意义去绝对值号，如y=|x-1|=（2）带两个或两个以上绝对值号的问题，常用“零点分段法”去绝对值号
6、，从而把函数写成分段函数的形式，然后作图. 如作函数y=|x-1|+|x+2|的简图. 令x-1=0，得x=1；令x+2=0，得x=-2.-2和1把数轴分成三部分. 当x-2时，y=-2x-1；当-2x1时，y=3； 当x1时，y=2x+1. 所以，的图象如右图. 要点提示 注意此处空半格(1)绝对值的意义：|a|=(2)所谓“零点”是指令每一个绝对值分别等于0，求得相应的x值.(3)可借助函数的图象分析这个函数的性质，例如这个函数的最小值为3.四、映射 一般地，我们有：设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对
7、应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射. 由映射的定义可知，上图中（1）（3）两个对应是集合A到集合B的映射;（2）不是集合A到集合B的映射，因为A中元素a在B中有两个元素e、g与之对应，不符合定义中“唯一性”的要求;（4）也不是A到B的映射，因为集合A中的元素b在集合B中没有元素与之对应. 对于映射f：AB来说，与集合A中的元素x对应的集合B中的元素y叫做x的象，x叫做y的原象.那么，怎样由对应法则找到它的象与原象呢？ 对于A到B的映射而言，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应，集合A中不同的元素在集合B中可以对应相同的元素，集合B中的元素可以在A中有一个或多个元
8、素与之对应，也可无元素与之对应. 要点提示 注意此处空半格(1)映射是特殊的对应，对应是两个集合元素之间的一种关系，对应关系可用图示的方法或文字描述等来表示.(2)常选择椭圆内加上元素直观体现f下元素的对应关系.(3)集合A到B的映射，A、B必须是非空集合（可以是数集，也可以是其他集合）.(4)对应关系有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的.(5)A中元素的象是集合B的子集.问题思路探究问题 表示函数常用的解析法、列表法、图象法三种方法的优缺点是什么?思路:考虑三种方法的含义,可通过举例比较.探究: (1)用解析式表示函数关系的优点是：函数关系清
9、楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质.中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数.缺点是:有些函数很难用解析式表示.(2)用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.缺点是:函数解析式的体现有时不明显.(3)用图象法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数的变化情况.更能体现数形结合的思想.缺点是:变量的值依赖于图象的精度.不利于精确计算. 典题热题新题例1 将长为a的铁丝折成矩形，求此矩形面积y关于一边长x的函数关系式，并求定义域和值域，作出函数的图象.思路解析：解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题，即把面积y表示为x
10、的函数，用数学的方法解决，再回到实际中去.解：设矩形一边长为x，则另一边长为（a-2x），面积为y=（a-2x）x=-x2+ax.又得0x.由于y=-（x-）2+a2a2， 故函数的解析式为y=-x2+ax，定义域为（0，），值域为（0，a2）.图象如右图所示. 深化升华 注意此处空半格解析式是用自变量的多项式来表示因变量的，函数解析式由定义域和对应法则确定，因此，求解析式的关键是明确对应法则，选好自变量. 解决此类问题的关键是首先建立目标函数，确定函数的定义域.若是实际问题，除了考虑函数解析式自身的限制条件外，还要考虑到它的实际意义.例2 据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家
11、之一，左下图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中我国年平均土地沙化面积在右下图中示为_.思路解析：本题涉及的数学点只是平均数，事实上，图形上的数据是连续的，而连续的数据的平均数在中学里未学过，要求我们在新情景下获取相关图表中的信息和进行数形转换.解：分别计算出1950年到1970年，1970年到1990年及1990年到2000年的平均值，只需对两个端点的数据进行计算即可.考虑单位后，则平均值分别为16，21.25，并在上图中表示.如右图： 深化升华 注意此处空半格用图象法表示一个函数是数形结合的基础.判断一个图形是不是
12、函数图象的依据仍旧是函数的定义. 函数图象的形状与定义域、对应法则有关.定义域确定变量的分布范围，对应法则确定形状.如何从图象中提取有用的信息，把“形”转化成“数”是解决问题的关键.例3 （经典回放）中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累加进行计算：全月应纳税所得额税 率不超过500元的部分5%超过5002 000元的部分10%超过2 0005 000元的部分15% 某人一月份应交纳此税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）A.800900元 B.9001 200元C.1 200
13、1 500元 D.1 5002 800元思路解析：本题是一道适用列表法表示函数关系的题目，解决此题首先要理解题意，能计算出相应工资的税款的算法，列出分段函数，找到函数值26.78所在的某段函数，求出自变量.本题作为选择题，亦可采用估算法求解.解法一：（估算法）依题意知，当工人工资为1 300元时，应交税金（1 300-800）5%=25（元），而该工人实际交税金26.78元25元，知其工资应超过1 300元.又26.78-25=1.78元，知该工资仅比1 300元多一点，但不会超过1 500元，从而可估算选C.解法二：（列出分段函数）依题意知，应交税金y与实际工资x的函数关系式为y= 即当y=
14、26.78时，有26.78=0.1x-105.x=1 317.8元. 答案：C 误区警示 注意此处空半格本题中实际问题的数学模型是分段函数，它的对应法则在不同的区间内可能不同，要注意找好不同区间内的解析式.从作出的图象看，它是一个阶梯函数.例4 已知 f（x）=(1)画出函数的图象；(2)根据已知条件分别求f(1)、f(-4)、ff(-4)和fff(-4)的值.思路解析：题设中给出的函数是分段函数，注意在不同的区间应用不同的关系式.本题中的关系式都是常见的初等函数的关系式，因而可以利用常见函数的图象知识来作图.解：(1)函数的图象如右图所示： （2）f(1)=12=1；f(-4)=0；ff(-4)=f(0)=1；fff(-4)=f(1)=12=1.例5 作出下列各函数的图象：（1）y=1-x，xZ；（2）y=2x2-4x-3，0x3；（3）y=|1-x|；（4）y=思路解析：（1）定义域为Z，所以图象为离散的点.（2）定义域不是R，因此图象不是完整的抛物线，而是从上面截取的一部分.（3）先根据绝对值的定义去掉绝对值号，写成y=（4）这个函数图象由两部分组成.当0x1时，为抛物线y=x2的一段；当-1x0时，为直线y=x+1上的一段.答案： 深化升华 注意此处空半格作函数图象，首先要明确函数定义域，其次明确函数图象是点、线段或直线，体会定义域对图象的控
