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1、湖北省武汉十五中等三校联考2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)一、单选题(每小题5分,共60分)1.若且,则下列不等式成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ;c=0时;因为 所以,选D.2.在中,则的形状为()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理将中等号两边的边转化为该边所对角的正弦,化简整理即可【详解】解:在中,由正弦定理得:,或,或,为等腰或直角三角形,故选:C【点睛】本题主要考查了三角形的形状判断,着重考查正弦定理与二倍角的正弦公式的应用,属于中档题3.中,角所对的边分别为,
2、已知,则 ()A. 或B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】由的度数求出的值,再利用正弦定理求出的值,由小于,得到小于,即可求出的度数【详解】解:,由正弦定理得:,则故选:C【点睛】本题主要考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键,属于基础题。4.已知点,,则向量在方向上的投影为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析:考点:向量数量积的运算和投影的概念5.已知的内角所对的边分别为,若,则外接圆的半径为()A. B. C. 4D. 6【答案】D【解析】【分析】根据题意,设外接圆的半径为,由正弦定理可得,据此整理,即可得的值,由的值计
3、算可得的值,由正弦定理计算可得答案【详解】解:根据题意,设外接圆的半径为,则有,则,中,则,即,又由,可得:,则有,即;故选:D【点睛】本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦公式的应用,关键是求出的值,考查计算及转化能力,属于中档题。6.如图,在山脚测得山顶的仰角为,沿倾斜角为的斜坡向上走米到,在处测得山顶的仰角为,求山高 ()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设,中, ,由正弦定理可求,根据可得结果【详解】解:设,中,米故选:A【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,直角三角形中的边角关系,求出是解题的关键,考查计算能力及转化能力,属于中档题。7.若正数满足,则的最大值为()A.
4、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知可整理得:,解得,将所求式子转化后利用基本不等式即可计算得其最大值【详解】解:正数满足,解得,当且仅当时,等号成立,的最大值为故选:B【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题8.设四边形为平行四边形,若点满足,则()A. 20B. 15C. 9D. 6【答案】C【解析】【分析】根据图形得出,结合平面向量的运算及向量的数量积定义即可求解【详解】解:四边形为平行四边形,点满足,根据图形可得:,又,所以,又,故选:C【点睛】本题主要考查了平面向量的运算,数量积的定义,还考查了计算能力及转化能力,属于中档题。9.设
5、是钝角三角形的三边长,则实数的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】解; 由题意可得任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,有 m+m+1m+2,m1再由m+1m+m+2可得 m3综上,1m3,故选B10.若是的重心,分别是角的对边,则角 ()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】是的重心,可得,由,可得,不妨取,可得再利用余弦定理即可求解【详解】解:是的重心,不妨取,可得,为的内角,则故选:C【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质、余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题11.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,点在以为圆心的圆弧上运动,若
6、,其中,则的最大值为()A. B. 5C. D. 6【答案】A【解析】【分析】如图所示,建立直角坐标系可得,设 ()可得,其中利用三角函数性质即可得出最值【详解】解:如图所示,建立直角坐标系,设 ()则,其中,当且仅当时取等号故选:A【点睛】本题主要考查了圆的参数方程应用,还考查了辅助角公式、三角函数性质及计算能力,属于中档题12.已知函数,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意,分析可得函数为奇函数且为增函数,进而可以将原问题转化为对任意实数恒成立,利用基本不等式可得的取值范围【详解】解:函数的定义域为,关于原点对称,有,则
7、奇函数,又在R上为增函数,在R上为增函数,则在R上为增函数,若不等式对任意实数恒成立,则,即对任意实数恒成立,即,又由,则,则有最小值, 若对任意实数恒成立,必有即的取值范围为故选:C【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与单调性综合应用,还考查了基本不等式的综合应用及不等式恒成立问题,考查转化能力及计算能力,属于中档题二、填空题(每小题5分,共20分)13.不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】直接利用一元二次不等式的解法求解。【详解】不等式可化为,解得;该不等式的解集是故答案为:【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,解题时先把不等式化简,再求解集,是基础题14.已知,则的最小值为_【答案
8、】2【解析】【分析】首先分析题目,由已知,求的最小值,猜想到基本不等式的用法,利用基本不等式代入已知条件,化简为不等式,解不等式即可,【详解】解:由题可得: (当且仅当时取等号),整理得:,即:,又:,所以: (当且仅当时取等号),则:的最小值是2故答案为:2【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,还考查了转化能力及计算能力,属于中档题。15.下列命题中,错误的命题是_(在横线上填出错误命题的序号)(1)边长为1的等边三角形中,;(2)当时,一元二次不等式对一切实数都成立;(3)中,满足的三角形一定是直角三角形;(4)中,角所对的边为,若,则的最小值为【答案】(1)(3)【解析】【分析】直接利
9、用向量的数量积计算,一元二次不等式恒成立问题解法,三角函数关系式的变换,余弦定理的应用,基本不等式的应用求出结果【详解】解:对于选项(1)边长为1的等边三角形中,由于:,所以错误,对于选项(2)当时,一元二次不等式对一切实数都成立,故:,解得:,当时,恒成立故:,由于:故(2)正确对于选项(3)中,满足,故:或,所以:或所以:三角形不一定是直角三角形;故(3)错误对于选项(4)中,角所对的边为,若,所以:故:故(4)正确故选(1)(3)【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的应用,平面向量的数量积的应用,余弦定理和基本不等式的应用及一元二次不等式恒成立问题,主要考察学生的运算能力和转化能力,属于
10、中档题16.已知点为的外心,且,则_【答案】【解析】【分析】取的中点,把所求数量积中的化为,展开,结合向量投影知识得解【详解】解:如图,取中点,则则,故答案为:【点睛】本题主要考查了圆的弦中点性质,还考查了平面向量的运算及向量投影的概念,考查转化能力及计算能力,属于中档题。三、解答题(共70分)17.已知,且向量在向量的方向上的投影为(1)求与的夹角;(2)求【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由投影的概念直接可得;(2)先求平方,只需代入条件即可得解【详解】解:(1)由题意得,;(2).【点睛】本题主要考查了向量投影,数量积的定义,考查转化能力及计算能力,属于较易题。18.在中,角所
11、对的边为,的面积为,且(1)求角;(2)若,求的值【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)直接利用三角恒等变换、两角和差的正弦(余弦)公式整理即可求出结果(2)利用(1)的结论和三角形的面积公式即可求得,再利用余弦定理即可求出结果【详解】解:(1)在中,角所对的边为,且所以:,整理得:,由于:,所以:,整理得:,由于:,所以:(2)由于:,所以:,整理得:,又,故:所以,故:【点睛】本题主要考查了三角恒等变换,两角和差的正、余弦公式,还考查了运算能力和转换能力及余弦定理,属于中档题19.某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量万件满足 (其中,为正常数),现假定生产
12、量与销售量相等,已知生产该产品万件还需投入成本万元(不含促销费用),产品的销售价格定为万元/万件(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大【答案】(1)y=25-(+x),(, a为正常数);(2)当a3时,促销费用投入3万元时,厂家的利润最大;当Oa3时,促销费用投入x=a万元时,厂家的利润最大【解析】试题分析:(1)利润为总销售所得减去投入成本和促销费用,得y=t(5+))(10+2t)x=3t+10x,又销售量t万件满足t=5,整理化简可得y=25(+x);(2)将函数方程整理为对勾函数形式y =28(+x+3),利用基本不等式得到=
13、x +3,即x =3时,得到利润最大值为。试题解析:(1)由题意知,利润y=t(5+))(10+2t)x=3t+10x由销售量t万件满足t=5(其中0xa,a为正常数)代入化简可得:y=25(+x),(0xa,a为正常数)(2)由(1)知y =28(+x+3),当且仅当= x +3,即x =3时,上式取等号当a3时,促销费用投入3万元时,厂家的利润最大; 当0a3时,y在0xa上单调递增,x = a,函数有最大值促销费用投入x = a万元时,厂家的利润最大 综上述,当a3时,促销费用投入3万元时,厂家的利润最大;当0a3时,促销费用投入x = a万元时,厂家利润最大20.已知在中,分别为角的对边,且是关于的一元二次方程的两根(1)求角的值;(2)若,求的取值范围【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)直接利用一元二次方程根与系数的关系可得,再利用余弦定理即可求出结果(2)利用正弦定理和三角恒等变换化简可得:,结合三角函数的性质即可求出结果【详解】解:(1)在中,分别为角的对边,且是关于的一元二次方程的两根故:,所以:,由于:,所以:(2)由于:,所以:所以:,