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1、浅议诱导公式的推广对于绝对值大于2的角的三角函数求值,能否直接套一个公式得出结果?要想解决这个问题,下面首先对诱导公式进行扩展,供同学们参考。一、k(kZ)的诱导公式象限的参数式集合设(0,),由图1易知,xyO偶-半-偶+偶-奇+奇-偶奇第一象限的角的集合为: |=2k+,kZ=|=偶+第二象限的角的集合为:|=(2k+1)-,kZ=|=奇-第三象限的角的集合为:|=(2k+1)+,kZ=|=奇+第四象限的角的集合为:|=2k-,kZ=|=偶-诱导公式的扩展sin(偶+)=sin, cos(偶+)=cos, tan(偶+)=tan,sin(奇-)=sin, cos(奇-)=-cos, tan
2、(奇-)=-tan,sin(奇+)=-sin,cos(奇+)=-cos, tan(奇+)=tan,sin(偶-)=-sin,cos(偶-)=cos, tan(偶-)=-tan。说明:这一组公式可由诱导公式一二四轻松得出,其中正切诱导公式可由正、余弦公式用商数关系得出。将当锐角看,则由公式左边角的象限确定公式右边的符号,这就叫“符号看象限”。二、半的诱导公式xyO偶-半-+-+-所在象限设(0,),由图2,则-是第一象限的角;+是第二象限的角;-(或-)是第三象限的角;-+(或+)是第四象限的角。诱导公式的扩展sin(-)=cos, cos(-)=sin,tan(-)=cot,sin(+)=co
3、s, cos(+)=-sin, tan(+)=-cot,sin(-)=-cos,cos(-)=-sin, tan(-)=cot,sin(-+)=-cos,cos(-+)=sin, tan(-+)=-cot。推导举例:sin(-)=sin-+(-)=-sin(-)=-cos,cos(+)=cos-(-)=-cos(-)=-sin,tan(+)=tan2-(-)=-tan(-)=-cot。说明:对于任意角求三角函数值,可先用诱导公式一化为02间的角,再用这组公式求值。用公式时,当锐角看。从两套公式可看出,对k(kZ)的三角函数值,得的同名函数值;对的三角函数值,得的余名函数值。然后再加上一个把当锐
4、角看时原函数值的符号,概括为“半变整不变,符号看象限”。三、典题例示:例1 化简sin(-)。解法一:(常规方法)sin(-)=-sin()=-sin(400+)=-sin(+)=-(-sin)=sin解法二:(扩展方法1) sin(-)=sin(-401-)=sin任意负角的 三角函数任意正角的 三角函数02的角的 三角函数 锐角的 三角函数利用诱导公式 三或一利用诱导公式一利用诱导公式 二或四或五点评:常规方法是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即也就是“负化正,大化小,化到锐角就行”。扩展方法是把角一步化到“整”形式,直接确定符号,其难点在于化简较常规方法要难。一般地,当角的绝对值大于2时用此法较快。三角函数的化简需将结果化成锐角的三角函数,是特殊角的要求出函数值。例2若sin是方程6x=2-的根,求的值。分析:将当锐角看,-7=-7+是第三象限角,6-是第四象限角,=4-是第四象限角,3-是第二象限角。解:原式=-tan方程6x=2-可变形为6x+-2=0,解得x=,sin=,是第一、二象限角,cos=,tan=,原式=-tan=。点评:将当锐角看是确定象限,确定符号的关键。3