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1、第一章离散时间信号与系统 离散时间信号采样离散信号的傅氏变换与Z变换离散时间系统系统函数 1 1离散时间信号 单位脉冲序列 单位阶跃序列 矩形序列 1 N 1n 实指数序列 正弦序列 x n sin n 0 sin n 0 1 5 正弦型序列 6 复指数序列 当 时x n 的实部和虚部 分别是余弦和正弦序列 序列的运算 1 序列的相加z n x n y n 2 序列的相乘f n x n y n 注 以上均为序列对应点相加 相乘 3 序列的移位y n x n n0 4 序列的能量 平方可和序列 绝对可和序列 有界序列 6 序列的单位脉冲序列表示 5 实序列的偶部和奇部 1 2采样 对信号进行时间
2、上的离散化 这是对信号作数字化处理的第一个环节 研究内容 信号经采样后发生的变化 如频谱的变化 信号内容是否丢失 采样序列能否代表原始信号 如何不失真地还原信号 由离散信号恢复连续信号的条件采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要 要了解这些性质 首先分析采样过程 1 采样过程 采样器一般由电子开关组成 开关每隔 秒短暂地闭合一次 将连续信号接通 实现一次采样 连续时间信号的采样 采样器 P t T 如开关每次闭合 秒 则采样器的输出是一串重复周期为T 宽度为 的脉冲 如图 脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度 如图 这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程 脉冲载波是一串周期为T 宽度为 的矩形
3、脉冲 以P t 表示 调制信号是输入的连续信号xa t 则采样输出为一般 很小 越小 采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值 2 理想采样 开关闭合时间 0时 为理想采样 特点 采样序列表示为冲激函数的序列 这些冲激函数准确地出现在采样瞬间 其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度 即 理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程 我们用M t 表示这个冲激载波 则有 实际情况下 0达不到 但 T时 实际采样接近理想采样 理想采样可看作是实际采样物理过程的抽象 便于数学描述 可集中反映采样过程的所有本质特性 理想采样对Z变换分析相当重要 3 采样信号的频谱 所以 所以 理想采样
4、信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓 重复周期为 s 采样频率 因此有 如果信号最高频谱超过 s 2 那么在理想采样频谱中 各次调制频谱就会互相交叠 出现频谱的 混淆 现象 图1 4 为简明起见 图中将作为标量处理 一般为复数 交叠也是复数相加 当出现频谱混淆后 一般就不可能无失真地滤出基带频谱 用基带滤波恢复出来的信号就要失真 奈奎斯特采样定理 要使实信号采样后能够不失真还原 采样频率必须大于信号最高频率的两倍 s 2 max实际工作中 考虑到有噪声 为避免频谱混淆 采样频率总是选得比两倍信号最高频率 max更大些 如 s 3 5 max 同时 为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混
5、淆 采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器 抗混叠滤波 阻止高于 S 2频率分量进入 3 归一化数字角频率 T fs s sT 2 4 采样的恢复 恢复模拟信号 如果理想采样满足奈奎斯特定理 即信号最高频率谱不超过折迭频率则理想采样的频谱就不会产生混叠 因此有 S 2将采样信号通过一个理想低通滤波器 只让基带频谱通过 其带宽等于折迭频率 S 2 特性如图 采样信号通过此滤波器后 就可滤出原信号的频谱 也就恢复了模拟信号 y t xa t 实际上 理想低通滤波器是不可能实现的 但在满足一定精度的情况下 总可用一个可实现网络去逼近 G j g t G j Txa t y t xa t 0 S 2
6、 讨论采样信号通过理想低通滤波器G j 的响应过程 理想低通G j 的冲激响应为 频域相乘对应时域卷积 利用卷积公式 则采样信号经理想低通后的输出为 这里 g t nT 称为内插函数 特点 在采样点nT上 函数值为1 其余采样点上 值为零 内插公式表明 连续函数xa t 可以由它的采样值xa nT 来表示 它等于xa nT 乘上对应的内插函数的总和 如图1 7所示 在每一个采样点上 由于只有该采样值对应的内插函数不为零 所以保证了各采样点上信号值不变 而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波形延伸迭加而成 内插公式的意义 证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱 整个连续信号就可以用它的采样
7、值完全代表 而不损失任何信息 奈奎斯特定律 1 3离散信号的DTFT与z变换 一 离散信号的DTFT变换离散信号 数字序列 的DTFT定义数字序列的IDTFT变换定义DTFT中的级数求和不一定总是收敛的 若x n 绝对可和 则该级数绝对收敛 充分条件 另外 平方可和序列的DTFT也存在 要强调的是平方可和序列不一定满足绝对可和的条件 值得指出 1 由于 所以是以2 为周期的周期函数 2 DTFT正是周期函数的付氏级数展开 而x n 是付氏级数的系数 这一概念在以后滤波器设计中有用 DTFT的一些主要性质见表1 2 补充 二 z变换定义利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解 为了分析系统的另外一
8、些重要特性 如稳定性和频率响应等 需要研究离散时间系统的z变换 类似于模拟系统的拉氏变换 它是分析离散系统和离散信号的重要工具 一个离散序列x n 的Z变换定义为其中z为复变量 以其实部为横坐标 虚部为纵坐标构成的平面为z平面 常用Z x n 表示对序列x n 的z变换 即 这种变换也称为双边z变换 与此相应还有单边z变换 单边z变换只是对单边序列 n 0部分 进行变换的z变换 其定义为单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别 即序列的起始条件不同 可以把单边z变换看成是双边z变换的一种特例 即因果序列情况下的双边z变换 三 z变换的收敛域一般 序列的Z变换并不一定对任何z值都收敛 z平面
9、上使上述级数收敛的区域称为 收敛域 我们知道 级数一致收敛的条件是绝对值可和 因此z平面的收敛域应满足因为对于实数序列 因此 z 值在一定范围内才能满足绝对可和条件 这个范围一般表示为 Rx z Rx 这就是收敛域 一个以Rx 和Rx 为半径的两个圆所围成的环形区域 Rx 和Rx 称为收敛半径 Rx 和Rx 的大小 即收敛域的位置与具体序列有关 特殊情况为Rx 等于0 Rx 为无穷大 这时圆环变成圆或空心圆 jIm z Rx Rx Re z 0 这里主要讨论以下四种序列 a有限长序列序列 序列x n 只在有限长度n1 n2内有值 其余为零 其Z变换X z 是有限项的级数和 只要级数每一项有界
10、有限项和也有界 所以有限长序列z变换的收敛域取决于 z n n1 n n2 显然 z 在整个开域 0 都能满足以上条件 因此有限长序列的收敛域是除0及 两个点 对应n0不收敛 以外的整个z平面 0 z 如果对n1 n2加以一定的限制 如n1 0或n2 0 则根据条件 z n n1 n n2 收敛域可进一步扩大为包括0点或 点的半开域 例1序列x n n 由于n1 n2 0 其收敛域为整个闭域z平面 0 Z 例2矩形序列x n RN n 等比级数求和 b右边序列指x n 只在n n1 有值 而nRx 为收敛半径Rx 以外的z平面 右边序列中最重要的一种序列是 因果序列 即n1 0的右边序列 因果
11、序列只在n 0有值 n 0时 x n 0 其z变换为 收敛域 Z变换的收敛域包括 点是因果序列的特征 c左边序列序列x n 只在n n2有值 n n2时 x n 0收敛域 Z Rx 在收敛半径为Rx 的圆内 d双边序列可看作一个左边序列和一个右边序列之和 因此双边序列z变换的收敛域是这两个序列z变换收敛域的公共部分 如果Rx Rx 则存在公共的收敛区间 X z 有收敛域 Rx z Rx 如Rx Rx 无公共收敛区间 X z 无收敛域 不收敛 Z变换小结 Z变换收敛域的特点 1 收敛域是一个圆环 有时可向内收缩到原点 有时可向外扩展到 只有x n n 的收敛域是整个z平面 2 在收敛域内没有极点
12、 X z 在收敛域内每一点上都是解析函数 Z变换表示法 级数形式解析表达式 注意 只表示收敛域上的函数 要同时注明收敛域 已知函数X z 及其收敛域 反过来求序列x n 的变换称为逆z变换 常用Z 1 x z 表示 若则逆z变换为 逆z变换是一个对X z zn 1进行的围线积分 积分路径C是一条在X z 收敛环域 Rx Rx 以内反时针方向绕原点一周的单围线 四 逆z变换 围线积分路径 证 设积分路径C在半径为R的圆上 即z Rej Rx R Rx 则 这个公式称为柯西积分定理 因此或 直接计算围线积分比较麻烦 一般不采用此法求z反变换 求解逆z变换的常用方法有 l幂级数l留数定律法l部分分式
13、法 常用序列z变换 可直接使用 五 z变换的性质z变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要用到 六 DTFT与z变换 七 Parseval定理 z变换的重要性质之一若有两序列x n y n 且X z Z x n Rx 1则其中 C所在收敛域为X v 和Y 1 V 两者收敛区域的重迭部分Max Rx 1 Ry v min Rx 1 Ry 证 令w n x n y n 利用复共轭和复卷积特性 p21表1 3 第7和第10 则由于假设条件中已规定收敛域满足 Rx Ry 1 Rx Ry 因此 z 1在收敛域内 即w z 在单位圆上收敛 w z z 1存在 又因因此证毕 如果X v Y v 在单位圆上收敛 则选取单位圆为围线积分途径 这时 Parseval定理的一个重要应用是计算序列能量 一个序列值的平方总和称为 序列能量 即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的 作业 P351 21 31 7 2 3 4 1 10 2 此课件下载可自行编辑修改 此课件供参考 部分内容来源于网络 如有侵权请与我联系删除
