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1、第五章二次型 1二次型及其矩阵表示 2标准形 3唯一性 4正定二次型 主要内容 问题的提出 第一节二次型及其矩阵表示 二次型的定义及矩阵表示 线性替换 合同矩阵 在解析几何中 为了便于研究二次曲线 把方程化为标准形 的几何性质 我们可以选择适当的角度 作转轴 ax2 2bxy cy2 f 1 反时针方向转轴 一 问题的提出 解析几何中 选择适当角度 逆时针旋转坐标轴 标准方程 中心与坐标原点重合的有心二次曲线 变量的二次齐次多项式的化简问题 1 式的左边是一个二次多项式 从代数学的 观点看 化标准的过程就是通过变量的线性替换 2 化简一个二次齐次多项式 使它只含有平方项 这样一个问题 在许多理
2、论问题或实际问题中常 会遇到 现在我们把这类问题一般化 讨论n个 代数观点下 作适当的非退化线性替换 只含平方项的多项式 二次齐次多项式 标准形 定义1 设P为数域 称为数域P上的一个n元二次型 n个文字的二次齐次多项式 二 二次型的定义及矩阵表示 1 定义 注意 2 式 也可写成 1 为了计算和讨论的方便 式 中的系数 写成 例1 1 约定 中aij aji i j 由xixj xjxi 有 2 二次型的矩阵表示 把上式的系数排成一个n n矩阵 它就称为二次型的矩阵 因为aij aji i j 1 2 n 所以 我们把这样的矩阵称为对称矩阵 因此 二次型 的矩阵都是对称矩阵 进一步 于是有
3、例2已知二次型 写出二次型的矩阵A 解 设 则 例3已知二次型 写出二次型的矩阵A 解 设 则 3 二次型的几种表示形式 2 3 4 A为任意n级矩阵 1 4 性质 2 二次型与它的矩阵相互唯一确定 即 正因为如此 讨论二次型时矩阵是一个有力的工具 若且 则 1 二次型的矩阵总是对称矩阵 即 这表明在选定文字下 二次型完全由对称矩阵A决定 3 对于任意n级矩阵A 二次型 的矩阵是 的矩阵 例4写出二次型 定义2 是两组文字 关系式 称为由的一个线性替换 若系数行列式 cij 0 则称 为非退化线性替换 三 非线性线性替换 1 定义 它是非退化的 系数行列式 例5解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋
4、转解角度 即变换 2 线性替换的矩阵表示 则 可表示为X CY 若 C 0 则 为非退化线性替换 注 2 若X CY为非退化线性替换 则有非退化线性替换 即 B为对称矩阵 性质二次型经过非退化线性替换仍为二次型 证明 是一个二次型 3 性质 证毕 四 合同矩阵 1 概念的引入 我们知道 经过一个非退化的线性替换 二次 型还是变成二次型 现在来讨论替换前后的二次型 的矩阵之间的关系 二次型 作非退化线性替换X CY 得到一个关 现在来看矩阵B 与A的关系 设是一个 于y1 y2 yn的二次型 得 这就是前后两个二次型的矩阵的关系 又因为矩阵也是对称的 前面已证 由此即 定义3 设 若存在可逆矩阵
5、 使 则称A与B合同 相合 2 与 反 对称矩阵合同的矩阵是 反 对称矩阵 1 合同矩阵具有相同的秩 C可逆 2 定义 3 性质 课本P191定理6 3 合同是矩阵间的一种等价关系 对称性 传递性 即C1C2可逆 反身性 A与本身合同 若A与B合同 则B与A合同 若A与B合同 B与D合同 则A与D合同 4 经过非退化的线性替换 新二次型的矩阵与 原二次型的矩阵是合同的 这样 我们就把二次型的变换通过矩阵表示 出来 为以下的讨论提供了有力的工具 A与B合同 二次型X AX可经非退化线性替换化为二次型Y BY 进而 有 X CY 则 Y C 1X 也是一个非退化线性替换 它把所得的二次型还原 我们
6、从所得二次型的性质可以推知原二次型的一些性质 5 设非退化的线性替换 最后指出 在变换二次型时 我们总是要求所 作的线性替换是非退化的 自然的 因为坐标变换一定是非退化的 说明 从几何上看 这一点是 例6证明 矩阵A与B合同 其中 一个排列 证 作二次型 故矩阵A与B合同 对作非退化线性替换 则二次型化为 注意的系数为 n元二次型 非退化线性替换 或X CY C 0 基本概念 矩阵的合同 小结 基本结论 1 二次型经过非退化线性替换仍为二次型 3 矩阵的合同关系具有反身性 对称性 传递性 2 二次型X AX可经非退化线性替换化为二型Y BY 图示 一一对应 一一对应 练习 写出下列二次型的矩阵 答案 思考题 其中 写出下列二次型的矩阵 答案 解 作业 写出下列二次型的矩阵 1 实数域R上的2元二次型 3 复数域C上的4元二次型 答案 它们的矩阵分别是
