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1、1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性 教学目标一、知识与技能了解周期函数的概念,会判断一些简单的、常见的函数的周期性,并会求一些简单三角函数的周期。二、过程与方法从自然界中的周期现象出发,提供丰富的实际背景,通过对实际背景(现实原型)的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念,再运用数学方法研究三角函数的性质,最后运用三角函数的性质去解决问题。三、情感、态度与价值观培养数学来源与生活的思维方式,体会从感性到理性的思维过程,理解未知转化为已知的数学方法。教学重点周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。教学难点周期函数的概念教学工具多媒体课件设计思路创设情境,从自然界中的周期现象
2、出发,通过对P点的圆周运动这一模型的分析,引入周期函数的概念。在研究P点的圆周运动时,给出了y=f(t)的图象;并在研究了三角函数的周期后,给出了y=sinx的图象,让学生从图象上对函数的周期加深理解,让学生体会数形结合的思想。在讲解例2时,充分利用解方程的思想,让学生更易理解。教学过程一、创设情境每年都有春、夏、秋、冬,每星期都是从星期一到星期日,地球每天都绕着太阳自转,公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返,这一些都给我们循环、重复的感觉,可以用“周而复始”来描述,这就叫周期现象。二、学生活动(P点的圆周运动)如图,点P自点A起,绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是:A-B-C-
3、D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B 显然点P的运动是周期运动。设圆的半径为2,每4分钟运动一周。设P到A的距离为y,运动时间为t,则y是t的函数,记为 y=f(t). 则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)= =0,(位置在A点)f(2)=f(6)=f(10)=f(14)= =4,(位置在C点)一般地,点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同,由此能得到这样的数学表达式:f(t+4)=f(t)想一想:f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系?说明它们的实际意义。f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t),运行时间不等,但最终位置相同可以用描点法画出
4、这个函数的图象(如图)它的特征是:在区间(0,4)(4,8)(8,12) 内重复。我们将上面的函数y=f(t)称为周期函数。三、建构数学一般地,对于函数f(x),对定义域内的每一个x的值,每增加或减少一个不为零的定值T,函数值就重复出现,这个函数就叫做周期函数,即f(x+T)=f(x)。(一)、周期函数及周期的定义周期函数定义如下:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。前面函数y=f(t)的周期可以认为是4、8、12、(二)、最小正周期的概念.对于一个函数f(x)
5、,如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.注意今后不加特殊说明,涉及的周期都是最小正周期. 显然上面的函数y=f(t)的周期T=4.(三)、三角函数的周期思考:正弦函数y=sinx是周期函数吗?即能否找到非零常数T,使sin(T+x)= sinx成立?sin(2+x)=sinx,sin(4+x)=sinx,根据周期函数定义判断它是周期函数,又根据周期的规定,它的周期T=2(最小正值)用几何画板展示周期函数y=sinx的图象,使学生感知其特征。讨论:余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx也是周期函数,并找出它们的周期。 周期分别是2、四、数学运用例1若钟
6、摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示。(1) 求该函数的周期;(2) 求t=10s时钟摆的高度。分析:周期可由两顶点间距离确定,此函数周期T=1.5;根据函数的周期性,f(10)=f(101.5)=f(1021.5)= =f(101.5k)(其中k为整数),直到101.5k=1或2.5为止,即f(10)=f(1)=20.解:(略)例2 求函数f(x)=cos3x的周期。解:设周期为T. f(x)=cos3x=cos(3x+2),f(x+T)=cos3(x+T)由f(x)= f(x+T)得,3x+2=3(x+T),解得T=2/3. 函数f(x)=cos3x的周期2/3.注意:运
7、用了换元方法,u=3x;f(u)=cosu的(最小正)周期是2;即cosu=cos(u+2);由于cos(3x+2) =cos3(x+T)对任一x的值都成立,所以3x+2=3(x+T);f(x)= cos3x的周期与f(u)=cosu的周期是两个不同的概念。尝试练习(1)求g(x)=2sin()的周期。(2)证明函数(其中为常数,且)的周期.结论:一般的,周期函数y=Asin(x+ )及y=Acos(x+ )(其中A,为常数,且A0,0)的周期T= .学生练习: 课本P27页 练习1、2、3、4五、回顾反思通过这节课的学习,你有哪些收获?1.周期函数、周期概念。一般地,对于函数f(x),如果存
8、在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2.3.函数y=tanx是周期函数,且周期均为.4. 周期函数y=Asin(x+)和y=Acos(x+) (其中A,为常数,且A0,0)的周期的求法。 六、课外作业: 1、举例说明周期现象。.2.、课本P45页 习题1.3 第1题3、设m、p、q为自然数,m除以5所得的商是p且余数是q(q5). 显然q是m的函数,记q=f(m). (1)写出这函数的值域;(2)这函数是周期函数吗?若是,则写出周期;
9、若不是,则说明理由。七、设计说明:1、由可感受、能理解的实例出发,感性的认识周期函数的概念。比如创设情境,从自然界中的周期现象出发,建立P点的圆周运动这一模型 。本节课的难点在于周期函数概念的理解,因此在讲解概念之前,通过现实情境帮助理解周期运动,在此基础上理解周期函数的概念就不太困难了。 2、通过对P点的圆周运动这一模型的分析,引入周期函数的概念,体现了数学由具体到抽象、由特殊到一般的过程。 3、新课程的一个重要理念就是“用教材教,而不是教教材”。在处理例2的过程中,由于课本的解法学生不太易理解,所以,我利用解方程的思想,根据周期函数的概念列出方程,解出周期T,从而降低了难度。 4、在教学过程中,我设计一些思考与练习,变由老师讲解为学生思考、探究,发展了学生的思维能力。4