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1、江西省临川第一中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理）试题第一卷（选择题，共60分）一、选择题:（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.设全集， ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别对集合化简，然后求出。【详解】 ， ，因此，故本题选A。【点睛】本题考查了集合的交集运算。斛决本题的关键是对集合元素的认识，它是求函数在给定区间上的值域。2.直线与曲线相切于点，则的值等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把切点的坐标代入直线解析式中，直接求出的值。【详解】因为直线与曲线相切于点，所以直线经过点，故本题选A。【点睛】本题
2、考查了已知点的坐标求直线斜率。3.已知 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用公式 ，进行计算。【详解】因为 ，所以本题选C。【点睛】本题考查了求向量的模。一股的方法是遇模则平方，然后开算术平方根。4.对任意非零实数已知 ，若的运算原理如图所示，那么( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算的值，然后与进行比较，按程序框图进行运行，输出结果。【详解】 ， ，本题选C。【点睛】本题考查了程序框图。5.已知命题若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】命题是假命题是真命题对任意恒成立，故选D.点睛:判断一个语句
3、是否为命题,要看它是否具备是陈述句和可以判断真假这两个条件,只有这两个条件都具备的语句才是命题;判断一个命题的真假,首先要分清命题的条件和结论,对涉及数学概念的命题真假的判断,要以数学定义,定理为依据,从概念的本身入手进行判断.本题的解题关键为正确理解逻辑联结词的含义,不但要看命题中是否含有逻辑联结词,而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义.6.设，则“”是“”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】由于原命题与逆否命题是等价命题，所以问题可以转化为：设，则“”是“” 的( )条件，这样可以先判断这个命题题设与结论成立的条件
4、，然后进行判断。【详解】由于原命题与逆否命题是等价命题，所以问题可以转化为：设，则“”是“” 的( )条件，题设： （，结论： （，显然由题设不一定能推出结论，但是从结论一定能推出题设，故本题选B。【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断。通过原命题与逆否命题是等价问题，使不等式的问题变得简单。7.若平面平面，直线，直线，且，则( )A. B. 且C. D. 和中至少有一个成立【答案】D【解析】【分析】通过四个选项可以知道，本题就是在若平面平面，直线，直线，且，这个条件下，和 这二个结论是同时成立，还是至少有一个成立，还是只有一个成立的问题，统一分类讨论，得出结论。【详解】（1）若垂直两个平
5、面的交线，那么的关系不确定；（2）若垂直两个平面的交线，那么的关系不确定；（3）若都不垂直于两个平面的交线，过上不在交线上一点，做交线的垂线，则垂直两平面的交线，这与都不垂直于两个平面的交线相矛盾，故假设不成立，因此至少有一个垂直两平面的交线，所以，和 至少有一个成立，故本题选D。【点睛】本题考查了反证法的应用。本题综合考查了线线、线面、面面之间的垂直关系。8.已知正数满足，则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正数满足，画出可行解域，把目标函数进行化简，得到，求的最大值，就是求出的最大值，结合可行域，求出。【详解】正数满足，如下图所示：，由，可得，由于21所
6、以问题转化求的最大值，结合可行域，可以得到点的横坐标，纵坐标都是最大的，故点是所求的点，解方程组，解得，因此，的最大值是，故本题选C。【点睛】本题考查了线性规划问题。9.已知双曲线上一点到的距离为，为坐标原点，且，则 ( )A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】，说明是的中点，设双曲线另个焦点为，当点分别在左支和右支时，利用双曲线的定义和中位线定理可以求出。【详解】设双曲线另个焦点为，因为 所以是的中点，由中位线定理知.当在右支时，由双曲线定义可知：当在右支时，由双曲线定义可知：故本题选D.【点睛】本题考查了双曲线的定义、向量的加法几何意义。要注意到点在不同位置时，等式的不同。
7、10.已知函数的图像关于直线对称，且，则的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数的图像关于直线对称，可以得出,且,可以求出,两式相减，利用已知，可以求出的最小值。【详解】因为函数的图像关于直线对称，所以（1），由，可知（2），（1）（2）得，又因为 所以的最小值是2，本题选B。【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性、零点。11.动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面交于两点，设，的面积是，则函数的图像大致为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意和正方体特征，分析点在对角线上运动过程中，随的变化情况及变化的速度，对照选项
8、选出正确的图象。【详解】由题可知，平面,其轨迹经过和侧棱的中点，如下图所示：设对角线的中点为。（1）当点在线段上时，如下图所示：当增大时，随着线性增加，,则函数的图像应为开口向上的二次函数递增的一部分，可排除；（2）当点在线段上时，如下图所示：当增大时，随着线性增加，,则函数的图像应为开口向下数递减的一部分，可排除，故本题选。【点睛】本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力。12.已知，在处取得最大值，以下各式中正确的序号为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，。因为在处取得最大值，则，化为，所以，正
9、确。另外，令，则，即有，所以函数的零点落在，由知，函数的零点为，故，正确。故选。考点：函数的零点；函数的最大值点评：函数在某处取得最值，则函数在此处的导数为.第二卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.）13._.【答案】。【解析】【分析】利用定积分的性质可以把原式化为：=+，可以分别求出 和 的值，最后把它们相加求出结果。【详解】=+，先求的值： ，是上的奇函数，所以=0；表示的是如下图所示的阴影部分的面积：， ,， 。【点睛】本题考查了定积分的计算。解决此类问题的关键是掌握定积分的性质及它的几何意义。14.已知的三个内角成等差数列，
10、且，则的值是_.【答案】【解析】【分析】的三个内角成等差数列，能求出角的大小，运用正弦定理可以求出，由大边对大角可知，所以为锐角，利用同角的三角函数关系可以求出的值。【详解】已知的三个内角成等差数列,，而由三角形内角和定理可知：，,由正弦定理可知：,由大边对大角可知，所以为锐角,【点睛】本题考查了正弦定理，同角三角函数的关系、等差中项。15.在矩形中，沿对角线把矩形折成二面角的平面角为时，则_.【答案】【解析】【分析】画出图形，分别过两点作，垂足为,利用勾股定理求出相应线段的长，再利用空间向量的线性关系表示求出，求出它的模。【详解】分别过两点作，垂足为,如下图所示：根据勾股定理可求出：，沿对角
11、线把矩形折成二面角的平面角为时，则，.【点睛】本题考查了利用空间向量求两点之间的距离。16.已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，若数列递增，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】要想数列递增，只需对于 ，恒成立即可，分类讨论求出的取值范围。【详解】因为数列递增，所以在条件下恒成立，当为奇数时，当为偶数时，综上所述的取值范围是。【点睛】本题考查了已知数列的单调性求参数的取值范围问题。三、解答题:（共计70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.已知：函数.（1）当时，求函数的单调递增区间； （2）当时， 函数的值域是，求的值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利
12、用二倍角降幂公式、两角和的正弦公式，化简函数，再求出函数的单调递增区间；（2）分类讨论，根据函数的值域，求出的值，再计算的值。【详解】 （1）当时,函数当时, 是增函数,函数的单调递增区间为（2）当时, 由题意得： 当时, 由题意得： 综上知: .【点睛】本题考查了正弦型函数增区间，也考查了已知正弦型函数的值域，求参数问题。18.已知：在与时都取得极值.（1）求的值；（2）若在区间，上不单调，求的取值范围 。【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）对函数求导，由题意可知，在与时都取得极值，也就是与时，它们的导函数值为零，得到方程组，求解这个方程组，可求出的值。（2）若在区间，上不单调，
13、也就是说明至少有一个极值点在内，列出不等式，求解不等式，求的取值范围。【详解】（1） 在与时都取得极值 （2）由（1）得 在，处分别取得极大值与极小值 在区间上不单调，两个极值点至少有一个在区间内，故或，解得：.【点睛】本题考查了已知函数极值，求函数解析式，也考查了已知函数单调性的特征，求参数的取值范围。19.某名校从年到年考入清华，北大的人数可以通过以下表格反映出来。（为了方便计算，将年编号为，年编为，以此类推）年份人数（1）将这年的数据分为人数不少于人和少于人两组，按分层抽样抽取年，问考入清华、北大的人数不少于20的应抽多少年？在抽取的这年里，若随机的抽取两年恰有一年考入清华、北大的人数不
14、少于的概率是多少？；（2）根据最近年的数据，利用最小二乘法求出与之间的线性回归方程，并用以预测年该校考入清华、北大的人数。（结果要求四舍五入至个位）参考公式：【答案】（1）年，（2）与之间线性回归方程，预测年该校考入清华，北大的人数为人。【解析】【分析】（1）先统计出人数少于20人有几年，人数不少于20人的有几年，这样按分层抽样抽取5年，这样就可以求出考入清华、北大的人数不少于5的应抽多少年，然后求出随机的抽取两年恰有一年考入清华、北大的人数不少于的概率。（2）按照公式求出，最后求出与之间的线性回归方程，当，代入线性回归方程中，就可预测年该校考入清华、北大的人数。（格外要注意结果要求四舍五入至个位）【详解】（1）在这10年里，人数不少于人有4年，少于20人的有6年，分层抽样抽取5年，所以抽取人数不少于人有2年，少于20人的有3年；随机的抽取两年恰有一
