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1、第4课数列的应用【考点导读】1能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。2注意基本数学思想方法的运用,构造思想:已知数列构造新数列,转化思想:将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。【基础练习】1将正偶数按下表排成5列: 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24第4行 32 30 28 26 则2008在第 251 行 ,第 5 列。2图1,2,3,4分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形,按同样的方式构造图形,则第个图包含 个互不重叠的单位正方形.3若数列中,且对任意的
2、正整数、都有,则 .4设等比数列的公比为,前项和为,若成等差数列,则的值为 。5已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则 。【范例导析】例1一种计算装置,有一数据入口A和一个运算出口B ,按照某种运算程序:当从A口输入自然数1时,从B口得到 ,记为 ;当从A口输入自然数时,在B口得到的结果是前一个结果的倍。(1)当从A口分别输入自然数2 ,3 ,4 时,从B口分别得到什么数?并求的表达式;(2)记为数列的前项的和。当从B口得到16112195的倒数时,求此时对应的的值.分析:根据题意可以知道,所以可以采用迭乘法求出的表达式,这样就可以解决题目中的问题。解:(1)由题意可知: (2)由得: 点评
3、:本题考查了迭乘法求数列的通项,裂项法求数列的前项和,更主要的是能从题目的描述中把数列分离出来,也就是理解题目的含义。例2已知正数组成的两个数列,若是关于的方程的两根(1)求证:为等差数列; (2)已知分别求数列的通项公式; (3)求数。(1)证明:由的两根得: 是等差数列(2)由(1)知 又也符合该式, (3) 得.点评:本题考查了等差、等比数列的性质,数列的构造,数列的转化思想,乘公比错项相减法求和等。例3设数列满足 ,且数列是等差数列,数列是等比数列。(I)求数列和的通项公式;(II)是否存在,使,若存在,求出,若不存在,说明理由。解:由题意得: ;由已知得公比 (2),所以当时,是增函
4、数。又, 所以当时,又, 所以不存在,使。备用题已知点和互不相同的点,满足,其中分别为等差数列和等比数列,为坐标原点,若是线段的中点.(1)求的值;(2)点,能否共线?证明你的结论;(3)证明:对于给定的公差不零的,都能找到唯一的一个,使得,都在一个指数函数的图象上.解:(1)是线段的中点 又, 且不共线,由平面向量基本定理,知: (2) 由 设的公差为,的公比为,则由于,互不相同,所以,不会同时成立; 若,则,都在直线上; 若,则为常数列, ,都在直线上; 若且,共线与共线()与矛盾,当且时,不共线.(3)设都在指数函数的图像上,则 令,则, 于是,有唯一解, 由于,从而满足条件“,互不相同
5、”。当对于给定的,都能找到唯一的一个,使得,都在指数函数的图象上。【反馈演练】1制造某种产品,计划经过两年要使成本降低,则平均每年应降低成本 。2在中,是以为第三项,4为第七项的等差数列的公差,是以为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 锐角三角形 。3等比数列的前项和为,则 54 。4数列是公差不为零的等差数列,且是一等比数列的连续三项,若该等比数列的首项为3,则 。5设为等差数列,为数列的前项和,已知,为数列的前项和,则6某人为了观看2008年奥运会,从2001年起,每年5月10日到银行存入元定期储蓄,利率为p且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2008年
6、将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为。(用式子作答)7在数列中,记,则使成立的最小正整数 11 。8在等差数列中,若,则有成立。类比上述性质,相应地,在等比数列中,若,则有等式。9.已知数列 (1)求数列的通项公式; (2)求证数列是等比数列;(3)求使得的集合. 解:(1)设数列,由题意得:解得: (2)由题意知:,为首项为2,公比为4的等比数列 (2)由10. 为减少市区的环境污染,有关部门决定,从2006年开始停止办理市区摩托车入户手续.此时该区域内居民摩托车拥有量已达1.6万辆.据测算,每7辆摩托车排放污染物总量等于一辆公交车排放的污染物,而每辆摩托车的运送能力是一辆
7、公交车运送能力的4%.若从2006年年初起年内退役部分摩托车,第一年退役万辆,以后每年退役的摩托车数量是上一年的80%,同时增加公交车的数量,使新增公交车的运送能力等于退役摩托车原有的运送能力.(1)求年内新增公交车的总量(万辆);(2)要求到2010年年初,剩余摩托车与新增公交车排放污染物的总量不超过原有1.6万辆摩托车排放污染物总量的一半,假定每辆摩托车排放污染物数量为,问第一年至少退役摩托车多少万辆?(精确到0.01).解:(1)由题意知,第一年退役摩托车万辆,第二年万辆,第n年万辆,所以,n年共退役摩托车根据所给条件得: 因此n年内新增公交车的总量为万辆; (2)由题意,经过4年剩余摩
8、托车排放污染物为:, 新增公交车排放的污染物为:,据题意 + 则 答: 第一年至少退役摩托车0.38万辆.11. 设不等式组所表示的平面区域为,记内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为(). (1)求、的值及的表达式; (2)设,为的前项和,求.解:(1)由已知易于得到, ; 当时,可取格点个;当时,,可取格点个 . (2)由题意知: 得 12.已知数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意,满足关系. (1)证明:是等比数列; (2)在正数数列中,设,求数列中的最大项. 解:(1)证明: ,得 故数列an是等比数列 (2)解:据()可知 由,得 令在区间(0,e)上,在区间为单调递减函数. 是递减数列 又 数列中的最大项为. - 8 -