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1、课时知能训练一、选择题1(2012湛江调研)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2y22x6y90圆心的抛物线方程是()Ay3x2或y3x2By3x2Cy29x或y3x2 Dy3x2或y29x【解析】圆的标准方程为(x1)2(y3)21，故圆心坐标为(1，3)，设抛物线方程为y22p1x或x22p2y，则(3)22p1或16p2，2p19或2p2，抛物线方程为y29x或x2y，则y29x或y3x2.【答案】D2设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4B6 C8D12【解析】如图，抛物线的焦点为F(2,0)，准线为x2，过抛物线上一点P作准线的垂线PE，连结
2、PF，由抛物线的定义知：|PF|PE|426.【答案】B3已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A(，1) B(，1)C(1,2) D(1，2)【解析】如图，点Q(2，1)在抛物线的内部，由抛物线的定义，|PF|等于点P到准线x1的距离过Q作x1的垂线QH交抛物线于点K，则点K为取最小值时的所求点当y1时，由14x得x.所以点P的坐标为(，1)【答案】A4设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A4B8C8D16【解析】由题意，直线l的方程为x2，焦
3、点F为(2,0)，设A点的坐标为(2，n)，则，解得n4，又PAl，由(4)28x，得x6.P(6,4)，|PF|8.【答案】B5已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A、B两点在抛物线上，得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，又线段AB的中点的纵坐标为2，y1y24，又直线的斜率为1，1，2p4，p2，抛物线的准线方程为x1.【答案】B二、填空题6抛物线y2ax的准线方程为x2，则a的值为_【解析】由题意知2，a8.
4、【答案】87双曲线1的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p的值为_【解析】双曲线的左焦点坐标为( ，0)，抛物线的准线方程为x， ，p216，又p0，p4.【答案】48(2012广州模拟)若点P到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_【解析】由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.【答案】x212y三、解答题图8819已知如图881，抛物线y22px(p0)的焦点为F，A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于
5、y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标【解】(1)抛物线y22px(p0)的准线方程为x，于是45，p2.抛物线的标准方程为y24x.(2)由(1)得点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)，F(1,0)，kFA.MNFA，kMN.则FA所在直线的方程为y(x1)MN所在直线的方程为y2x.解方程组，得.N(，)10给定抛物线C：y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点(1)设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)若2，求直线l的方程【解】(1)由题意可知，F(1,0)直线l的斜
6、率为1，直线l的方程为yx1，联立，消去y得x26x10设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26，y1y2x1x224，所求圆的圆心坐标为(3,2)，半径r14，所以圆的方程为(x3)2(y2)216(2)由题意可知直线l的斜率必存在，设为k，则直线l的方程为yk(x1)由得ky24y4k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由2，得(x11，y1)2(1x2，y2)y12y2由得k28，k2直线l的方程为y2(x1)11(2012洛阳模拟)已知抛物线C：x22py(p0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线yx与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|4.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点M，且a，b，对任意的直线l，ab是否为定值？若是，求出ab的值；否则，说明理由【解】(1)联立方程得x22px0，故O(0,0)，N(2p,2p)，|ON|2p，由2p4得p2，抛物线C的方程为x24y.(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为ykx1，则直线l与x轴交点为M(，0)，记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x24kx40，(4k)2(16)16(k21)0，x1x24k，x1x24.由a，得(x1，y1)a(x1,1y1)，a，同理可得b，ab()(2)1，对任意的直线l，ab为定值1.4
