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1、 1 变式教学研究 变式教学研究 鲍建生 黄荣金 易凌峰 顾泠沅 鲍建生 黄荣金 易凌峰 顾泠沅 编者按 这是一篇理论和实践相结合的数学教育论文 变式教学 的提法早已有之 顾泠沅的 学会教学 率先加以研究 无独有偶 在香港大学工作过的 Marton 教授也关心此举 三位数学教育的博 士联袂研究 遂有此长文 常有读者问 怎样的数学教育研究是高水平的 与国际接轨的论文是什么样的 中国特色的经验如何上升为理论 本文将给你一个全新感受 文章很长 两万多字 我们打算分几期刊出 正如长篇小说可以连载 本刊打算仿效 本文提要 本文从有关中国人数学学习的一个悖论说起 提到海内外学者聚焦 变式教学 文章的 核心
2、部分是经验和实验 涉及 概念性变式 和 过程性变式 两个方面 在理论反思部分 提到 有意 义学习 数学化与情景化 认知冲突与逻辑发展 变异理论 脚手架理论等许多方面 多侧面地解剖 变 式数学教学 文章最后提出了若干建议 本文作者 鲍建生 苏州大学 2002 年华东师范大学博士 黄荣金 2002 年香港大学博士 易凌峰 上 海教育科学院 2002 年华东师范大学博士 顾冷沅 上海教育科学院 1 一个悖论 1 一个悖论 1 1 有关中国人数学学习悖论 1 1 有关中国人数学学习悖论 从上世纪 80 年代末以来 在有关中国数学教学和学生数学学业成就的国际比较研究中 出现了一个引人注目的相互矛盾的结果
3、 一方面 大量研究表明 无论是国际数学教育成就调查 IEA 还是奥林匹克竞赛 IMO 中国以及其他东亚国家中小学生的数学成绩均显著优于西方学生 但另一方面 许多西方研究者的调查与研究却认为 中国学习者 的数学学习环 境存在着许多缺陷 尤其在教学方式上 属于典型的 被动灌输 和 机械训练 例 如 金斯伯格 Ginsberg 对中国教学的调查研究认为 中国教学是教师主导的被动灌输 式教学 教学是 一个受尊敬的长者传输知识给处于服从地位的年少者 进而认为中 国的数学教学不具有先进性 这两种矛盾的现象就构成了所谓的 中国学习者悖论 而对这个悖论的研究与解 释 已成为国际比较教育及心理学研究的一个热点
4、1 2 海外学者不同侧面的解释 1 2 海外学者不同侧面的解释 从逻辑的角度看 悖论的两个对立方面必有一假 由于 中国学习者 的数学成就已 2 被越来越多的国际比较研究所证实 因此 近年来许多西方的研究者开始重新审视中国数学 教学 致力于从深层次去揭示中国数学教学的一些有价值的成分 从而寻求对悖论的合理解 释 这里介绍的三项研究 正是从不同角度入手揭示了中国数学教学的内在价值 1 多角度理解知识 中美小学数学教师对数学知识理解的比较研究 中 国 留 美 学 者 马 力 平 的 研 究 表 明 在 学 科 知 识 的 深 刻 理 解 profound understanding knowledg
5、e 上 中国教师有明显的优势 在数学知识的教学过程中 美国教 师比较重视操作过程 中国教师则更注重对概念和原理的多角度理解 具体表现在运算上 美国教师往往只知道如何计算 并不清楚相关算法的合理性 中国教师不仅十分注意对基本 算法的熟练掌握 也非常重视如何才能更为迅速 更为容易地去完成计算 而要做到后一点 仅靠机械训练显然是不行的 关键是在教学中注意提倡多种不同的算法 并能通过比较理解 各自的优缺点 这也正是中国数学教学的一个重要特征 2 有层次推进教学 对中国数学教学模式与新教师入职教育的研究 美国密歇根州立大学彭恩霖 Lynn Paine 教授根据对中国数学课堂教学多年实地考察 与研究 把中
6、国教学法描述为 鉴赏家模式 virtuoso model 中国课堂中由浅入深地有 层次推进 step by step 的教学方式给她留下了深刻的印象 她的研究认为 中国教师在学 科知识上所拥有的 深刻理解 在很大程度上源于具有中国特色的 合作探究式的教师在 职培训模式 3 寻找不同的问题解决途径 对东西方数学课堂教学的比较研究 斯蒂文森 H Stevenson 和斯蒂格勒 J Stigler 对中 日 美三国小学数学教学方法 的比较中发现 中国和日本的课堂教学是精心设计的 轻松的和非权威性的 教师常常让 学生主动地进行探索 课程以问题解决为导向而并非集中于事实和程序的机械掌握 因此 中国和日本
7、的数学教学不应被看成机械的 单纯讲授式的 学生也并非处于被动接受 的地位 而是学习活动的积极参与者 通过对日本 德国和美国八年级的数学课堂的深入分析 斯蒂格勒与赫伯特 Hilbert 对三个国家的数学课堂给出了一个生动的描述 在一节典型的日本数学课中 教师通常出示 一个复杂的问题 要求学生独立地寻求各种不同的解法 然后是小组讨论 接着由教师和学 生一起对各种解法的优缺点进行分析 而在一节典型的美国数学课中 则常常由教师先给出 某类问题的解法 然后让学生练习一批类似的问题 日本课堂中所采取的这种 一题多解 的做法 也正是中国数学教学的一个典型特征 它与西方的数学教学方法有着明显的差异 显然 上面
8、这几项研究所反映出的中国数学教学的一些基本特点 如对概念 原理的多 3 角度理解 课堂教学的有层次推进 及一种问题的多种解法等 与 被动灌输 和 机械训 练 的观点是背道而驰的 可以说 中国学习者悖论 的形成 不仅与西方学者所持的哲 学与理论观点有关 而且更可能源于他们对中国数学教学表面现象的解读 因此 要解释 中 国学习者悖论 首先必须对中国数学教学有更深层次的理解 1 3 聚焦变式教学 1 3 聚焦变式教学 西方研究界之所以形成两种对中国数学教学的不同看法 除了外部观察者的局限性和文 化偏见外 一个重要的原因是对教与学的本质的不同理解 例如 马登 Marton 等学者认为 一些西方研究者之
9、所以把 中国学习者 描述为 机械学习者 rote learners 是因为 他们往往把记忆与理解看成是对立的两个方面 而将重复学习与机械学习相提并论 事实上 有变化的重复学习也可以是有意义的学习 马登进一步指出 在日本和中国的课堂教学中 学生通过同一个问题做着不同的事情 一 题多变或一题多解 而在美国的数学课堂中 学生通过不同的问题重复做着同一件事情 同 一过程 同一方法 根据马登的现象图式学 Phenomenongraphy 的变异理论 Theory of variation 这一教学差异具有典型性 因此 对教学变异 variation 的理解也许是解释 中美数学教学差异的一个关键所在 而从
10、实践的角度看 中国传统的变式教学 与马登的变异理论有许多相似之处 对变式 教学的经验和理论的反思与讨论 将有助于对 中国学习者悖论 的解读 事实上 变式教 学作为一种传统和典型的中国数学教学方式 不仅有着广泛的经验基础 而且也经过了实践 的检验 本文以 青浦实验 有关变式教学的研究为基础 从一个特定的角度对中国数学变 式教学进行经验反思与理论分析 进而从深层次上去解释悖论 与此同时 也希望通过对变 式教学的研究 揭示中国数学教学的本质特征 并进一步探索和构建变式教学的理论框架 2 经验与实验 2 经验与实验 变式教学在中国由来已久 被广大教师自觉或不自觉地运用 其中也不乏经验性的教学 研究 正
11、是在这个基础上 顾泠沅 1981 对变式教学进行了系统而深入的实验研究与理论分 析 这项研究主要涉及两个方面的工作 一是对传统教学中的 概念变式 进行系统的恢复 与整理 二是将 概念性变式 推广到 过程性变式 从而使变式教学既适用于数学概念 的掌握 也适用于数学活动经验的增长 2 1 概念性变式一对概念的多角度理解 2 1 概念性变式一对概念的多角度理解 传统的变式教学主要用于概念的掌握 如 教育大辞典 顾明远主编 1999 对 教学 变式 词条的解释是 4 在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一 即在教学中用不同形式的直观材料或 事例说明事物的本质属性 或变换同类事物的非本质特征以突出事物
12、的本质特征 目的在于 使学生了解哪些是事物的本质特征 哪些是事物的非本质特征 从而对一事物形成科学概 念 传统意义上的教学变式主要包括两类 一类是属于概念的外延集合的变式 称为概念变 式 其中又可以根据其在教学中的作用分为概念的标准变式和非标准变式 另一类是不属于 概念的外延集合 但与概念对象有某些共同的非本质属性的变式 称为非概念变式 其中包 括用于揭示概念对立面的反例变式 所有这些概念变式和非概念变式 我们统称为概念性变 式 概念性变式在教学中的主要作用是使学生获得对概念的多角度理解 1 通过直观或具体的变式引入概念 数学概念的一个基本特征是抽象性 但许多数学概念又直接来自具体的感性经验
13、因此 概念引入教学的关键是建立感性经验与抽象概念之间的联系 顾泠沅 1981 的研究表明 影响学生掌握几何概念的主要因素有三个 已具备的图形 经验 概念的叙述以及掌握概念所依据的图形变式 以两条异面直线的概念教学为例 实践表明 异面直线概念的教学主要有两个难点 一是概念的定义 内涵 比较抽象 学生不易理解 二是异面直线属于三维图形 用平面直观 图去表示难免会造成视觉上的失真 从而也为概念对象 外延 的鉴别带来困难 针对这两个 难点 有经验的教师通常会借助于下面两类变式 一是通过日常生活中的直观材料 如图 l 左 组织已有的感性经验 使学生理解概念的具体含义 二是利用不同的图形变式 如图 1 右
14、 作为直观材料与抽象概念之间的过渡 使学生原有的感性经验从具体直观上升到图形 直观材料 5 图形变式 图 1 异面直线的直观材料与图形变式 的水平 进而掌握概念图形的基本特征 准确地把握概念的外延空间 这里必须强调的是 在概念的引入阶段 具体或直观变式的主要作用是建立感性经验与 抽象概念之间的联系 由于数学概念的本质是抽象的 因此 在教学的适当阶段还应尽可能 地摆脱具体或直观的背景 使概念上升到抽象水平 此外 许多数学概念都是逐次抽象的结果 因此 数学概念的具体与抽象是相对而言的 例如 在说明 方程 概念的本质属性 含有未知数的等式 时 可以用下面的概念变式 1 01 1243 534 21
15、3 12 222 yxx yxx x x 这些变式虽然本身也是抽象的代数符号表达式 但相对于 方程 概念来说 则是直观 和具体的 2 通过非标准变式突出概念的本质属性 和一般科学概念一样 数学概念是一种外延性概念 也就是说 每个概念都有一个明晰 的边界 掌握概念意味着能够通过内涵去确定一个具体的对象是否在这个边界内 因此 教 学的一种有效途径就是将概念的外延作为变异空间 将其所包含的对象作为变式 通过类化 不同变式的共同属性而突出概念的本质属性 在概念的对象集合中 尽管从逻辑的角度看 每个对象都是等价的 但实际上 这些对 象在学生的概念理解系统中的地位并不相同 特别地 其中一些对象由于其拥有
16、标准的 形式 或者受到感性经验的影响 或者在引入概念时的 先入为主 等原因而成为所谓的标 准变式 如图 2 6 垂直 平行四边形 三角形的高 图 2 几何概念的标准与非标准图形变式 在这两种概念变式中 标准变式虽然有利于学生对概念的准确把握 但也容易限制学生 的思维 从而人为地缩小概念的外延 解决这个问题的方法之一就是充分利用非标准变式 通过变换概念的非本质属性 突出其本质属性 3 通过非概念变式明确概念的外延 概念的内涵与外延是对立而统一的 内涵明确则外延清晰 反之亦然 因此 概念的教 学除了在内涵上下功夫外 还应该使学生对概念所包含的对象集合有一个清晰的边界 数学概念通常都不是孤立的 而是存在于一个由多种概念组成的概念体系之中 我们可 以用下面的图示来表示概念之间的联系 图 3 概念之间的关系 图中显示了概念 A 与其他一些概念之间的关系 其中 B 是 A 的上位概念 C 是 A 的下位 概念 A 和 D 是相交关系 A 与 E 则是矛盾关系 因此 要明确概念的外延就必须划清概念 与其周边概念之间的边界 这里的一条有效途径就是利用所谓的 非概念变式 如平面几何中的非概念图形 通 过
