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1、高考数学二轮复习 直线和圆【知识网络】直线和圆求曲线的方程曲线的交点曲线与方程圆圆的标准方程圆的一般方程圆的参数方程直线与圆的位置关系直线点与直线位置关系点到直线的距离倾斜角五种形式直线方程二元一次不等式表示平面区域线性规划斜 率直线与直线位置关系平 行重 合交 点夹 角平行线间的距离【疑难点拔】直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点，本章的难点是倾斜角及直线方程的概念，突破难点的方法之一是运用数形结合，要注意直线方程几种形式的适用性和局限性，直线方程中的各个参数都具有明显的几何意义，它对直线的位置、点与直线、直线与直线、直线与圆的各种关系的研究十分重要，高考中重点考查运用上述知识解题的变
2、通能力。在解答有关直线的问题时，要注意：（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况；（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验不存在的情况，防止丢解；（4）直线方程的三种形式各有适用范围，要能根据题中所给已知条件选用最恰当的表示形式，并能根据问题的需要灵活准确地进行互化，在求直线方程时，要注意需二个独立的条件才能确定。常用的方法是待定系数法；（5）两直线的平行与垂直是现实生活中最常见到的两种特殊位置关系，故掌握它们的判断方法就显得非常重要，特别要提醒的是应把它们的判定和平面两向
3、量共线与垂直的判定有机地结合在一起；（6）在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法。(7)直线方程问题是“解析几何”的基础，学习时应注意积累下面两方面的经验：正确选择各种直线方程解决各种问题；通过直线方程问题的解题，逐步认识“解析几何”问题的解题思维策略，积累“方程”、“坐标”、“图形”的解题经验。线性规划是直线方程在解决实际问题中的应用，常通过二元一次不等式表示的平面区域来确定实际问题的解，应用极为广泛。加强思想方法训练，培养综合能力。平面解析几何的核心是坐标法，它需要运用变化的观点，运用代数的方法研究几何问题，因此在处理解
4、析几何问题时，从知识到思想方法上都需要与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系。能够判断直线与圆、点与圆、圆与圆的位置关系，解决直线与圆的有关问题的基本方法是将直线和圆的方程组成的方程组通过消元，化成一元二次方程，然后灵活使用判别式或违达定理解题；同时要善于利用直线和圆的几何知识解题。直线与圆的位置关系是直线的一种重要应用，在高考中每年都有重点的考查，因此在复习时一定注意知识间的横向联系，以达到融汇贯通。【典型问题研究】1、过点且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线有【 】条 A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】作图 应有3条 C 注意截距的概念2、若直线过点且被圆截的弦长是8，则直线方
5、程为 A.B. 【 】C.D.【解析】由垂径定理可得：原点至所求直线的距离为3，设所求直线为即则结合图可得所求直线方程为或应选D注意：本题容易忽视斜率不存在的情况，这一点在求直线方程时要尤其注意。3、过圆外一点引圆的两条切线则经过两切点直线方程为 A.B. 【 】C.D.【解析】设两切点分别为，则：过的切线方程为，过的切线方程为： 又两切线切点的直线方程为，应选A4、直线绕着它与轴的交点逆时针方向旋转所得直线的方程为 【 】 A.B.C.D.【解析】本题主要考查公式，应选5、设是圆上任一点，欲设不等式恒成立，则 取值范围是 【 】 A.B.C.D.【解析】圆的参数方程的应用。设 又对、有即 应
6、选6、若直线与曲线恰有一个公共点，则范围为【 】 A.B.C.D.或【解析】数形结合的思想。考察即与图像 表示一组斜率为1的平行直线，表示y轴的右半圆。如图可知，选（D）【简要评述】数形结合思想的灵活运用，此题可以进一步拓展，等。7、不等式 表示的平面区域是在直线【 】的点的集合。A左上方 B右上方 C左下方 D右下方【解析】作出直线，又因为，所以原点在区域内侧表示直线的左下方，故选取C。【简要评述】用特殊值法解选择题是常用的方法。8、如果实数x、y满足，那么的最大值是 。OMCyx【解析】 解法一：设直线l：，则表示直线的斜率，直线与圆相切时，斜率为最大或最小，所以只要求圆心到直线距离为半径
7、即可。解法二：设圆的参数方程：则 据三角知识求解。解法三：设=t ，则 只要解方程组，利用可得解。解法四：如图，联结圆心C与切点M，则由OMCM，又RtOMC中，OC=2，CM= 所以，OM=1，得 【简要评述】小题小做，选方法四最为简单，数形结合的数学思想的灵活运用。【例1】已知两点，求直线的斜率与倾斜角。【解析】注意斜率存在的条件。当时，不存在。=，当时，；当时,，当时,【简要评述】此题涉及到分类讨论的数学思想方法，分类讨论在历年的高考中，特别是综合性题目中常常出现，是重点考查的数学思想方法之一。【变题】若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的
8、取值范围。解：直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足kk1或kk2， A(-2, 3) B(3, 2) -m或-m 即m或m说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0,90)或(90,180)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kA
9、C，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。【例2】求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。解法一：先用“平行”这个条件设出l 的方程为3x+4y+m=0再用“面积”条件去求m，直线l交x轴于，交y轴于由，得，代入得所求直线的方程为：解法二：先用面积这个条件列出l的方程，设l在x轴上截距离a，在y轴上截距b，则有，因为l的倾角为钝角，所以a、b同号，|ab|=ab，l的截距式为，即48x+a2y-48a=0又该直线与3
10、x+4y+2=0平行，代入得所求直线l 的方程为说明：与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成Ax+By+C1=0的形式；与Ax+By+C=0垂直的直线的方程可表示为Bx-Ay+C2=0的形式。【例3】过点作两条互相垂直的直线，分别交、的正半轴于、，若四边形的面积被直线平分，求直线方程。思路分析 命题有两种设方程的方案：设、的点斜式方程，然后求出；设的截距式方程，经过估算，应选第方案更好。设方程为（a0,b0）、。 a0 0b5 方程的一般式为到的距离的面积而的面积，直线平分四边形的面积， ， 可得 故所求方程为和。【简要评述】若命题中的直线与两坐标轴均有交点，应首先考虑选用截距式方程是否有利
11、。【例4】已知，定点A(1,0)，B、C是圆上两个动点，保持A、B、C在圆上逆时针排列，且(O为坐标原点)，求ABC重心G的轨迹方程。【解析】设，则；设G（x，y）则 2+2 得 即 【简要评述】适当运用圆的参数方程，设B、C两点坐标，有利于寻求函数关系。PAxyCBM【例5】过点P（-8，0），引圆C： 的割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹方程。【解析】方法一， CMPM，弦AB的中点M的轨迹是以P（-8，0）、C（1，-5）中点为圆心，|PC|长为直径的圆。 （圆C的内部）方法二，设M（x，y）为中点，过点P（-8，0）的直线，又设A（，y1），B（x2，y2），由方程组 可以得到据韦达定
12、理可以得解。 方法三， 化简得 （圆C的内部） 【简要评述】方法一是据圆的定义得解的较为简单；方法二容易想到，但计算量太大；方法三是利用平面两向量垂直的性质与平面两向量的数量积，使解题过程简单化。【变题】已知M：轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.解:（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， ， 故， 所以直线AB方程是（2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即 把（*）及（*）消去a，并注意到，可得说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。【例6】已知x、y满足约束条件 x1
13、， x-3y-4， 3x+5y30，求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）.作直线：2x-y=0，再作一组平行于的直线：2x-y=t，tR.可知，当在的右下方时，直线上的点（x，y）满足2x-y0，即t0，而且直线往右平移时，t随之增大.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当在的左上方时，直线上的点（x，y）满足2x-y0，即t0，而且直线往左平移时，t随之减小.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小. x-3y+4=0， 由 解得点B的坐标为（5，3）； 3x+5y-30=0， x=1， 由 解得点C的坐标为（1，）.
