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1、数列、极限、数学归纳法目标：引导同学对所做旧题进行回顾反思，使对本章知识点、方法系统及易错点有一个更清晰的线索，框架，培养学生面对陌生情景的问题时，能从运用知识点，方法体系的角度去思考分析问题的解题策略。难点：策略意识的归纳提取及运用范例：例1(1)在等差数列an中，若a10=0,则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19, nN) 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b9=1,则有等式_成立。 (2)公差不为0的等差数列中，若第k,n,p项成等比数列，则其公比为（ ）。 A、 B、 C、 D、 (3)等差数列an,bn的前n项和分别为Sn和Tn, 若，则等于（ ）。
2、 A、1 B、 C、 D、 解析：以上三题都考查有关等差、等比数列概念，此处知识要点是定义、公式的理解运用。问题主要是“知三求二”类的方程计算，方法有“基本量法”（即把问题化归到a1,d或q上去，简单可行，但通常较为麻烦）；“表示技巧法”（在等差、等比数列中任两项都可互相表示；中项；若有k,l,m,nN且k+l=m+n.an为AP则ak+al=am+an, an为GP，则akal=aman）；还有少数问题可联系函数去解决。(1)a1+a2+an=a1+a2+a19-n,an等差,a10=0, 此处用了：2a10=a9+a11=a8+a12=an+a20-n. 而a20-n的前一项为a19-n，
3、故上式成立，若bn等比数列，b9=1,对于n17, 则有：， b1,b2,b3,bn中，b18-n的前一项为b17-n, b1b2b3bn=b1b2b3b17-n(n17, nN). (2)若ak, an, ap成等比，设公比为q，则, 由an等差，设公差为d(d0) 则 ak=an+(k-n)d, ap=an+(p-n)d, , , , 选B。(3) an为等差数列，故，而 a1+a2n-1=2an, 故一般地，对等差数列有 。 评述：(1)题若bn为正项数列,可令an=lgbn，由已知推出。(2),(3)题亦可用基本量法来作，但显然运算量会大上许多，此三题均选自高考原题和模拟题，要注意此类
4、问题方法，技巧的归纳运用。例2数列an的前n项和是Sn, 数列bn满足b1=a1, bn+1=an+1-an, an+Sn=n. (1) 求证：数列bn是等比数列，并写出其通项公式； (2) 求an. 解析：对一般数列的问题，通常的问题有：递推关系辨析、使用问题；前n项和Sn使用和计算问题。通常的解题方法有：赋n=1,2,3,4归纳猜想证明（运用数学归纳法）；（此法，简单，可操作性强，历来被视为看家的方法）；利用所给式子的结构，将n值赋成n-1,n+1或连续赋n,n-1,n-2,3,2,1，运用方程或叠加叠乘技巧来作，（此法富于技巧但书写运算量较少，常见类型有：等差（或等比）定义型；叠加叠乘型
5、：(n+1)an+1-nan=k， nan+1-(n+1)an=0; 变换可化归等差，等比型：an=kan-1+p, an-an-1=kanan-1; )。对于Sn与an关系型的问题，通常要用易错点是只看Sn-Sn-1而忽略n=1。解：(1)由an+Sn=n, 可得：an+1+Sn+1=n+1, 两式相减则有：an+1-an+(Sn+1-Sn)=1，即 2an+1-an=1 上式可变形为：2(an+1-1)=an-1. 又由 a1+S1=1, 可得， 这说明数列an-1为首项为，公比为的等比数列。 又由 2an+1-an=1 可变形为 an+1-an=1-an+1, 由 bn+1=an+1-a
6、n, bn+1=1-an+1, bn=1-an, bn为等比数列，首项为，公比为， .(2) 由 , 可得 , an=1. 评述：此题亦可用归纳猜想证明来做，(1) 问亦可先求1-an的通项，进而求出an的通项，再根据bn=an-an-1来作；(2)问亦可由bn=an-an-1 迭加得an通项来做。此题设计精巧，方法灵活，应多琢磨领会方法的运用。例3在数列an中，a1=1，当n2时，an,Sn, 成等比数列。 (1)求通项an; (2)求数列an的所有项和解：(1)an,Sn, 成等比数列， (n2)，又 an=Sn-Sn-1, (n2)， (n2)， 是公差为2，首项为1的等差数列， ， ,
7、 当n2时，, 又 a1=1不满足， 。(2) 由(1)得：， 。 评述：此题也可用归纳、猜想、证明等方法。此题需关注两处技巧：若由化归为有关an的关系式较难，可由anSn-Sn-1去。式子的特征分析运用；此题易混之处在求Sn时不马上利用(1)问导出Sn的结果，而是又去裂项求和。例4已知，且f-1(x)为f(x)的反函数，又数列an的前n项和Sn满足Sn=f-1(Sn-1), a1=2. (1) 求数列an的前n项和Sn及通项an; (2) 若，试比较b1与c1；b2与c2；b3与c3的大小，猜测bn与cn(nN)的大小关系并加以证明； (3) 求极限的值。 解析：对于数列综合题，一般有从数列
8、引申到其它知识，类型由其它知识引入到数列中来两类，以后者居多，方法是化归（即将综合问题化归到各自的知识领域）。解：由, 可求得 , 由Sn=f-1(Sn-1), , , 为等差数列， Sn=2n2, n2时，an=2(2n-1), 当n=1时， 2(2n-1)=2, an=2(2n-1)(nN).(2) ; , b2c2; , b31时， 当0b1时， 当0b1， 任意存在xn使xnx-xn, f(x)-xf(xn)-xn, 又 f(xn)=n. 而， f(xn)-xn0, f(x)x 成立。 当Ob1时，仿上述证明 （此时f(x)0且a1)(1) 求函数f(x)的值域(2) 若x-2,1时，
9、f(x)的最小值为-7，求a的值及此时f(x)的最大值。解：令t=ax，则t0， f(x)=1-2t-t2=-(t2+2t+1)+2=-(t+1)2+2对称轴t=-10, f(x)1时，ta-2,a当t=a时，f(x)min=-(a+1)2+2=-7,a=2此时f(x)max=-(a-2+1)2+2=.当0a1时，ta, a-2,当t=a-2时，f(x)min=-(a-2+1)2+2=-7,a=,此时f(x)max=-(a+1)2+2=,满足题要求时a=2时，f(x)max=.a=时，f(x)max=.例2：已知：a1，f(x)=ax2-2x+1在1，3上最大值为M(a),最小值为N(a)，令
10、g(a)=M(a)-N(a). 求g(a)的最小值。解：f(x)=a(x2-x+-)+1=a(x-)2+1- a1,13.所以f(x)的图像开口向上，对称轴在1,3之间。x1,3当x=时，f(x)min=N(a)=1-，当12即a1时，f(x)max=f(3)=M(a)=9a-5.当23，即a时，f(x)max=f(1)=M(a)=a-1. g(a)=M(a)-N(a) g(a)=,当a0,可证g(a)在, )是单减函数，g(a)在, )上无最小值,当a1时，g(a)=9a+-66-6当且仅当a=时“=”成立，a=,1 g(a)0,可证g(a)在,1上为单增函数， g(a)min=g()=,当a=时，g(a)min=.注：最好掌握一般的情况f(x)=ax+(a,b0)的图像，因为是奇函数，只画右边部分。（下面的3中涉及到了）因为ax+，在ax=时取等号，即x。草图如下：（可以观察最值和单调性）
