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1、南康中学20182019学年度第二学期高二第二次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设，则在复平面对应的点位于第 ()象限A一 B二 C三 D四2“”是“”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3曲线在处的切线的倾斜角是（ ）A B C D 4. 二项式的展开式的常数项为（ ）A -5 B5 C. -10 D105. 用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数共有 （ ）A36个 B.72 C.48 D.606函数的大致图像为（ ）7. 已知
2、椭圆(ab0)的左、右焦点分别为 为椭圆上一动点, 面积的最大值为，则椭圆的离心率为（ ）A. B.1 C. D. 8. 已知中，则为（ ）A等腰三角形B的三角形C等腰三角形或的三角形D等腰直角三角形9. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A. B. C. D. 10.某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为 （ ）A2 B C. D11. 已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的外接圆半径为( )ABC2D12. 已知函数
3、.若过点存在3条直线与曲线相切，则的取值范围为( )A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则至少选中一名男生的选法种数是_14. 如图所示，在正方形内，随机投入一个质点，则所投质点恰好落在与轴及抛物线所围成的区域内的概率是_ 15. 已知，,则与的值分别为_16.已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为若函数，且，则实数的取值范围是_三、
4、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知函数，.（1）若a4，求的单调区间；（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围18.（本题满分12分）在等差数列an中，a13，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b11，公比为q(q1)，且b2S212，q.(1)求an与bn；(2)证明： b0)的两焦点在x轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)动直线l:交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点
5、Q的坐标；若不存在，请说明理由。22. （本题满分12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意，恒有成立，试求的取值范围南康中学20182019学年度第二学期高二第二次大考数学（理科）参考答案一、选择题：1-5DBCBD 5-10AACBD 11-12CB12. 解析 设函数上任意一点，在点处的切线方程为,即.若过点，则依题意，方程有三个不等实根. 令，得，.当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增.因此的极小值为,极大值为.若有三个不等实根，故.二、填空题：13.7 14. 15. 6，35 16. 三、解答题：17.解：当或时，当时，所以的单调递增区间是和，的单调递减区间
6、是因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)3(1)23a0，所以a1.所以f (x)x33x1，f(x)3x23.由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性，可知f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)191，结合f(x)的单调性，可知m的取值范围是(3,1)18. 解(1)设an的公差为d，因为所以解得q3或q4(舍)，d3.故an33(n1)3n，bn3n1(2)证明：因为Sn，所以.故.因为n1，所以，即0，x1x2，x1x2，8分(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2(x1x2)(1k2)0，10分，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1). 12分22.解析：（1）函数的定义域为，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数的上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减（2）恒成立，即恒成立，不妨设，因为当时，在上单调递减，则，可得，设，对于任意的，恒成立，在上单调递增，在上恒成立，在上恒成立，即在上恒成立，当时， 只需在上恒成立，即在上恒成立，设，则，故实数的取值范围为- 9 -
