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1、江西省南康中学、于都中学2019届高三数学下学期第二次联考试题 理 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设( ) 2.( ) 3.下列有关命题的说法正确的是（ ），使得成立命题：任意，都有，则：存在，使得命题“若且，则且”的逆命题为真命题若数列是等比数列，则是必要不充分条件4. 函数的大致图像为（ ） A B C D5. 在中，点为的中点，点在上,，点在上，那么等于（ ）A. B. C. D. 6. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得
2、知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：4若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）A16B16CD7. 若等差数列的前项和为，且，则（ ）A B C D 8.已知函数，若，且，则的单调递增区间为（）ABCD9. 若则的最小值是（ ） A B. C. D. 10. 椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，且满足则椭圆离心率的取值范围为（ ）ABCD11. 已知是球的球面上两点，且球的半径为，为该球面上的动点当三棱锥的体积取得最大值时，则过三点的截面的面积为（）ABCD12. 已知函数，若成立，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将
3、正确答案填在答题卷相应位置.）13. 若函数为偶函数，则的值为 14. 已知实数满足，则的最大值为 15. 点是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点,，则的值是 16. 已知定义在上的函数满足，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为_三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17.（本题满分10分）已知函数.(1)当时，解不等式；(2)当时，恒成立，求的取值范围.18.（本题满分12分）在数列中，已知.（1）求证：数列是等差数列；（2）设数列满足，的前n项和.求证19.（本题满分12分）已知分别为三个内角的对边，且（1）求；（
4、2）若为边上的中线，求的面积20（本题满分12分）如图，在四棱锥中，为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面（1）证明：平面平面；（2）为直线的中点，且，求二面角的正弦值21. （本题满分12分）设抛物线的准线与轴交于,抛物线的焦点为，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）若，求的取值范围. 22.（本题满分12分）函数为常数）(1)讨论函数的单凋性；(2)若存在使得对任意的不等式（其中为自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围南康中学2019届高三寒假数学（理科）测试参考答案一、选择题：1-12：CBDA
5、DCDB DDAA 二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17. 【详解】（1）当时，有所以或或，所以或或， 综上，不等式解集为（2）当时，恒成立，有。恒成立. 或恒成立.或恒成立当时， 或 恒成立，解得不存在；解得：. 综上知，. 18. 解：（）数列是首项为，公比为的等比数列，.3分 4分.，公差d=3数列是首项，公差的等差数列.7分（）由（）知，（n）.8分， 于是 9分两式-相减得=.10分 .12分19.（本题满分12分）（），由正弦定理得：，即，化简得：，在中，得（）在中，得，则，由正弦定理得设，在中，由余弦定理得：，则，解得，即， 故20. （）证明：为矩形，平面平
6、面，平面平面，平面，则，又，平面，而平面，平面平面；（）取中点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，由，是以为直角的等腰直角三角形，得：，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得二面角的正弦值为21. 【解析】：（）设椭圆的标准方程为，由题意得，解得，椭圆的方程为，点的坐标为,抛物线的方程是.（）由题意得直线的斜率存在，设其方程为，由消去x整理得（*）直线与抛物线交于两点，设， ，则， ,由消去得： ，即，将代入上式得，单调递减，即，即的取值范围为22. 解析：（1），记（i）当时，因为，所以，函数在上单调递增；（ii）当时，因为，所以，函数在上单调递增；（iii）当时，由，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增（II）由（1）知当时，函数在区间上单调递增，所以当时，函数的最大值是，对任意的，都存在，使得不等式成立，等价于对任意的，不等式都成立，即对任意的，不等式都成立，记，由，由得或,因为，所以，当时，且时，时，所以，所以时，恒成立；当时，因为，所以，此时单调递增，且，所以时，成立；当时，所以存在使得，因此不恒成立综上，的取值范围是11
