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1、江西省九江市实验中学高中数学 不等式的证明方法之二 综合法与分析法(无答案)新人教A版选修4-5目的要求: 重点难点: 教学过程:一、引入:综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法,也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性,这里将其放在一起加以认识、学习,以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法,即从已知条件出发,根据不等式的性质或已知的不等式,逐步推导出要证的不等式。而分析法,则是由结果开始,倒过来寻找原因,直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”,后一种是“执果索因”。打一个比方:张三在山里迷了路,救援人员从驻地出发,逐步寻找,直至找到他,这是
2、“综合法”;而张三自己找路,直至回到驻地,这是“分析法”。以前得到的结论,可以作为证明的根据。特别的,是常常要用到的一个重要不等式。二、典型例题:例1、都是正数。求证:证明:由重要不等式可得本例的证明是综合法。例2、设,求证证法一 分析法要证成立.只需证成立,又因,只需证成立,又需证成立,即需证成立.而显然成立. 由此命题得证。证法二 综合法 注意到,即,由上式即得, 从而成立。议一议:根据上面的例证,你能指出综合法和分析法的主要特点吗?例3、已知a,b,m都是正数,并且求证: (1)证法一 要证(1),只需证 (2)要证(2),只需证 (3)要证(3),只需证 (4)已知(4)成立,所以(1
3、)成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二 因为 是正数,所以 两边同时加上得两边同时除以正数得(1)。读一读:如果用或表示命题P可以推出命题Q(命题Q可以由命题P推出),那么采用分析法的证法一就是 (1)而采用综合法的证法二就是 如果命题P可以推出命题Q,命题Q也可以推出命题P,即同时有,那么我们就说命题P与命题Q等价,并记为在例2中,由于都是正数,实际上 例4、证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为,则周长为的圆的半径为,截
4、面积为;周长为的正方形为,截面积为。所以本题只需证明。证明:设截面的周长为,则截面是圆的水管的截面面积为,截面是正方形的水管的截面面积为。只需证明:。为了证明上式成立,只需证明。两边同乘以正数,得:。因此,只需证明。上式显然成立,所以 。这就证明了:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例5、证明:。证法一 因为 (2) (3) (4)所以三式相加得 (5)两边同时除以2即得(1)。证法二 因为所以(1)成立。例6、证明: (1)证明 (1) (2)(3) (4) (5)(5)显然成立。因此(1)成立。例7、已知都是正数,求证并
5、指出等号在什么时候成立?分析:本题可以考虑利用因式分解公式 着手。证明: = = 由于都是正数,所以而,可知 即(等号在时成立)探究:如果将不等式中的分别用来代替,并在两边同除以3,会得到怎样的不等式?并利用得到的结果证明不等式: ,其中是互不相等的正数,且.三、小结:解不等式时,在不等式的两边分别作恒等变形,在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式,移项,在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式,得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法,也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、练习:1、已知求证:2、已知求证3、已知求证4、已知求证:(1)(2) 5、已知都是正数。求证:(1) (2)6、已知都是互不相等的正数,求证五、作业:ssID=3060 5