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1、曲线与方程练习1、过抛物线(为大于0的常数)的焦点F,作与坐标轴不垂直的直线交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交轴于Q点,求PQ中点R的轨迹L的方程.2、平面内两定点M(0,一2)和N(0,2),动点P(x,y)满足,动点P的轨迹为曲线E,给出以下命题: m,使曲线E过坐标原点; 对m,曲线E与x轴有三个交点; 曲线E只关于y轴对称,但不关于x轴对称; 若P、M、N三点不共线,则 PMN周长的最小值为24; 曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H,则四边形GMHN的面积不大于m。 其中真命题的序号是(填上所有真命题的序号)3、在直角坐标系中,曲线上的
2、点均在圆外,且对上任意一点,到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值(1)求曲线的方程;(2)设为圆外一点,过作圆的两条切线,分别与曲线相交于点和证明:当在直线上运动时,四点的纵坐标之积为定值4、已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4;()求点M的轨迹的方程;()若曲线C上存在两点A,B关于直线l:对称,求直线AB的方程5、在棱长为的正方体中,是的中点,点在侧面 上运动现有下列命题:若点总保持,则动点的轨迹所在的曲线是直线;若点到点的距离为,则动点的轨迹所在的曲线是圆;若满足,则动点的轨迹所在的曲线是椭圆;若到直线与直线的距离比为,则动点的轨迹所在的曲线是双曲线;若到直线与直线的距离相等
3、,则动点的轨迹所在的曲线是抛物线其中真命题的个数为( )A4 B3 C2 D1 6、设圆与两圆 ,中的一个内切,另一个外切(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)已知点,且P为L上动点,求|的最大值及此时点的坐标7、已知椭圆的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线的顶点,直线与椭圆交于,两点,且点的坐标为,点是椭圆上异于点,的任意一点,点满足,且,三点不共线.(1)求椭圆的方程;(2)求点的轨迹方程;(3)求面积的最大值及此时点的坐标.8、在直角坐标系xOy中,长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动,记点P的轨迹为曲线E(I)求曲线E的方程;(II)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A、
4、B两点,当点M在曲线E上时,求四边形OAMB的面积9、设到定点的距离和它到直线距离的比是()求点的轨迹方程;()为坐标原点,斜率为的直线过点,且与点的轨迹交于点,若,求的面积10、已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P做PM交x轴于点M,并延长MP到点N,且()求点N的轨迹方程;()直线l与点N的轨迹交于A、B不同两点,若,且求直线l的斜率k的取值范围.11、已知平面内一动点到点的距离等于它到直线的距离()求动点的轨迹的方程; ()若直线与曲线交于两点,且,又点,求的最小值12、已知圆内有一点,为过点的弦(1)当的倾斜角为时,求的长;(2)求的中点的轨迹方程13、设、R,常数定义运算
5、“”:(1)若求动点轨迹C的方程;(2)若,不过原点的直线与轴、轴的交点分别为T、S,并且与(1)中轨迹C交于不同的两点P、Q , 试求的取值范围;(3)设是平面上的任一点,定义、若在(1)中轨迹C上存在不同的两点A1、A2,使得成立,求实数的取值范围14、已知椭圆的左、右焦点分别是、,离心率为,椭圆上的动点到直线的最小距离为2,延长至使得,线段上存在异于的点满足.()求椭圆的方程;()求点的轨迹的方程;()求证:过直线上任意一点必可以作两条直线与的轨迹相切,并且过两切点的直线经过定点.15、已知点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积是(I)求点的轨迹方程;(II)过点作两条互相垂直的
6、射线,与点的轨迹交于两点.试判断点到直线的距离是否为定值.若是请求出这个定值,若不是请说明理由.16、已知圆的圆心在直线上,且与轴交于两点,()求圆的方程;()求过点的圆的切线方程;()已知,点在圆上运动,求以,为一组邻边的平行四边形的另一个顶点轨迹方程17、设动点到定点的距离比它到轴的距离大1,记点的轨迹为曲线.()求点的轨迹方程;()设圆过,且圆心在曲线上,是圆在轴上截得的弦,试探究当运动时,弦长是否为定值?为什么?18、已知定点F(0,1)和直线:y1,过定点F与直线相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线交动点C的轨迹于两点P、Q,交直线于点R,求的最小值;(
7、3)过点F且与垂直的直线交动点C的轨迹于两点R、T,问四边形PRQT的面积是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由19、设过点的直线分别与轴和轴交于两点,点与点关于轴对称,为坐标原点,若且()求点的轨迹的方程;()过的直线与轨迹交于两点,求的取值范围20、在学习数学的过程中,我们通常运用类比猜想的方法研究问题.(1)已知动点P为圆O:外一点,过P引圆O的两条切线PA、PB,A、B为切点,若,求动点P的轨迹方程;(2)若动点Q为椭圆M:外一点,过Q引椭圆M的两条切线QC、QD,C、D为切点,若,求出动点Q的轨迹方程;(3)在(2)问中若椭圆方程为,其余条件都不变,那么动点Q的
8、轨迹方程是什么(直接写出答案即可,无需过程). 答 案1、抛物线的焦点为,设的直线方程为.由得,设M,N的横坐标分别为,则,得,而,故PQ的斜率为,PQ的方程为.代入得.设动点R的坐标,则,因此,故PQ中点R的轨迹L的方程为. 2、解析:平面内两定点M(0,2)和N(0,2),动点P(x,y)满足|=m(m4),=m(0,0)代入,可得m=4,正确;令y=0,可得x2+4=m,对于任意m,曲线E与x轴有三个交点,不正确;曲线E关于x轴对称,但不关于y轴对称,故不正确;若P、M、N三点不共线,|+|2=2,所以PMN周长的最小值为2+4,正确;曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为
9、H,则四边形GMHN的面积为2SMNG=|GM|GN|sinMGNm,四边形GMHN的面积最大为不大于m,正确故答案为:3、解析:(1)解法1 :设的坐标为,由已知得,1分易知圆上的点位于直线的右侧.于是,所以.化简得曲线的方程为. 4分解法2 :曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离,所以曲线是以为焦点,直线为准线的抛物线, 2分故其方程为. 4分(2)当点在直线上运动时,P的坐标为,又,则过且与圆相切得直线的斜率存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为,即于是整理得 6分设过所作的两条切线的斜率分别为,则是方程的两个实根,故 7分由得 8分设四点的纵坐标分别为,则是方
10、程的两个实根,所以 9分同理可得 10分于是由,三式得 .13分所以,当在直线上运动时,四点的纵坐标之积为定值6400. 14分4、(1)结合图形知,点M不可能在轴的左侧,即M到点的距离等于M到直线的距离M的轨迹是抛物线,为焦点,为准线M的轨迹方程是:(或由化简得)6分(2)设则 相减得 又的斜率为4则 中点的坐标为, 即经检验,此时,与抛物线有两个不同的交点,满足题意. 12分5、C6、(1)设圆C的圆心坐标为(x,y),半径为r.(2)由图知,|MP|FP|MF|,当M,P,F三点共线,且点P在MF延长线上时,|MP|FP|取得最大值|MF|,7、(1);(2),除去四个点,;(3),点的
11、坐标为或.试题分析:(1)由双曲线的顶点得椭圆的焦点,由椭圆的定义得的值,利用即可得椭圆的方程;(2)设点,先写出,的坐标,再根据已知条件可得,代入,化简,即可得点的轨迹方程;(3)先计算的面积,利用基本不等式即可得的面积的最大值.试题解析:(1)解法1: 双曲线的顶点为, 1分 椭圆两焦点分别为,. 设椭圆方程为, 椭圆过点, ,得. 2分 . 3分 椭圆的方程为 . 4分解法2: 双曲线的顶点为, 1分 椭圆两焦点分别为,. 设椭圆方程为, 椭圆过点, . 2分 , 3分由解得, . 椭圆的方程为 . 4分(2)解法1:设点,点,由及椭圆关于原点对称可得,.由 , 得 , 5分即 . 同理
12、, 由, 得 . 6分得 . 7分由于点在椭圆上, 则,得,代入式得 . 当时,有, 当,则点或,此时点对应的坐标分别为或 ,其坐标也满足方程. 8分当点与点重合时,即点,由得 ,解方程组 得点的坐标为或.同理, 当点与点重合时,可得点的坐标为或.点的轨迹方程为 , 除去四个点, ,. 9分解法2:设点,点,由及椭圆关于原点对称可得,., 5分. 6分 得 . (*) 7分 点在椭圆上, ,得,代入(*)式得,即, 化简得 . 若点或, 此时点对应的坐标分别为或 ,其坐标也满足方程. 8分当点与点重合时,即点,由得 ,解方程组 得点的坐标为或.同理, 当点与点重合时,可得点的坐标为或.点的轨迹方程为 , 除去四个点, ,.9分(3) 解法:点到直线的距离为.的面积为10分 .