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1、一、一、数列的极限数列的极限二、二、收敛数列的性质收敛数列的性质三、三、函数的极限函数的极限四、四、极限的性质极限的性质第二节第二节 极限的概念极限的概念“割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆周合体而与圆周合体而无所失矣无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、数列极限的定义一、数列极限的定义“割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆周合体而与圆周合体而无所失矣无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、数列极限的定义一、数列极限的定义“割之弥细，割之弥细，所失
2、弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆周合体而与圆周合体而无所失矣无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、数列极限的定义一、数列极限的定义“割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆周合体而与圆周合体而无所失矣无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、数列极限的定义一、数列极限的定义“割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆周合体而与圆周合体而无所失矣无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、数列极限的定义一、数列极限的定义“割之弥
3、细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆周合体而与圆周合体而无所失矣无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、数列极限的定义一、数列极限的定义“割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆周合体而与圆周合体而无所失矣无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、数列极限的定义一、数列极限的定义“割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆周合体而与圆周合体而无所失矣无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、数列极限的定义一、数列
4、极限的定义“割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆周合体而与圆周合体而无所失矣无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、数列极限的定义一、数列极限的定义“割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆周合体而与圆周合体而无所失矣无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、数列极限的定义一、数列极限的定义正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积（2）（3）例1 考察下列数列（1 1）（4）观察它们的变化趋势，并总结规律。（1）在几何上一个数列可看成实数轴上的一）在几何上一个数列
5、可看成实数轴上的一个点列，也可看成实数轴上的一个动点个点列，也可看成实数轴上的一个动点注意：注意：（2）数列可看成是以自然数为自变量的函数：）数列可看成是以自然数为自变量的函数：xn = f ( n ) .总结：可分成两种情形：（1）当n无限增大，通项无限接近某一常数；（2）当n无限增大，通项不趋近任何常数。 数列极限的描述定义数列极限的描述定义 对对 xn: x1 , x2 , x3 , , xn , 若随着若随着 n 的无限增大的无限增大(记作记作 n )， 有有xn无无限接近某个定数限接近某个定数 a， (允许某些允许某些xn甚至全部甚至全部 xn等于等于a)， 则称则称 xn 有极限有
6、极限(为为a)或或收敛收敛(于于 a)，记作记作: xn= a 或或 xn a (n )例例2 2 讨论 的极限解解 因为因为 xn= = 1+ 所以所以 xn 1 (n )，即即 xn =1。二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质1 1、有界性有界性例如,有界有界；无界。无界。 定义定义 对数列nx， 若存在正数M， 使得一切正 整数n， 恒有Mxn 成立，则称数列xn有界有界; 否则， 称为无界。 从几何上看：数列xn对应于点列可落于某个有界闭区间内，数列1+ += =nnxn，数列nnx2= =定理定理1 1 收敛的数列必定有界.推论推论 无界数列必定发散.例例3 3 n+(-1)nn:
7、0, 4, 0, 8, 0, 12, 是是无界的无界的, n+(-1)nn 发散发散. 注意注意收敛收敛有界有界;发散发散无界无界.收敛收敛有界有界;发散发散无界无界.2 2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限.三、函数的极限三、函数的极限1 1、各自变量的变化过程中的极限、各自变量的变化过程中的极限由由xn=f(n) n N，有，有极限问题中的个要素：极限问题中的个要素：（1) 自变量的变化过程；自变量的变化过程；（2） 函数。函数。考虑种自变量的连续变化过程：1. x2. x -3. x 4. x x05. xx0+6. xx0-中函数极限的定义。几何解释 y a- y=f(x) a a- O X x 即 a x + 时，曲线 y = f(x) 有水平渐进线水平渐进线 y =a . 几何解释 y a -X O x即 a x - 时，曲线 y = f (x) 有水平渐进线 y =a 。时关系：关系：几何解释几何解释: :注意注意 极限是函数的极限是函数的局部局部性质。性质。例1解：是否存在。判断设 )( lim 3. 1 - 23; 1 )( 3xfxxxxxfx 0（或A0(或0)。 若在自变量x的某一变化过程中,f(x)收敛，并且在此变化过程中的某一时刻之后，恒有f(x) 0(或0),则对此变化过程有 lim f(x)0(或0) 。
