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1、20182019学年度第二学期期中调研测试高一数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.计算的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据式子的特点，逆用正弦两角和公式，即可计算出。【详解】=故本题选B。【点睛】本题考查了两角和的正弦公式。逆用公式在三角恒等变换中，是常见的方法。2.在中，角的对边边长分别为，若，则其面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接使用面积公式即可求出。【详解】，故本题选C。【点睛】本题考查了三角形面积的求法。3.已知 中，角 的对边边长分别为，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案
2、】A【解析】分析：利用三角形内角和定理求得三个内角分别为，由正弦定理可得结果.详解：中，因为，所以，所以可得三个内角分别为，则故选A.点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.4.下列命题正确的是（ ）A. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面B. 四边形确定一个平面C. 经过一条直线和一个点确定一个平面D. 经过三点确定一个平面【答案】A【解析】【分
3、析】对于A: 两两相交且不共点的三条直线,一共有三个不共线的交点，故可以确定一个平面；对于B:如果是空间四边形，可以确定多个平面；对于C:点在线上，就确定多个平面；对于D:三点共线，能确定多个平面【详解】对于A;两两相交不共点，所以有三个不共线的交点，根据公理，可以确定一个平面，故选项A正确；对于B:如果是空间四边形，可以确定多个平面，故选项B不正确；对于C:点在线上，就确定多个平面,故选项C不正确，；对于D:三点共线，能确定多个平面,故选项D不正确，所以本题选A。【点睛】本题考查了确定平面的问题。5.函数是（ ）A. 最小正周期为的偶函数B. 最小正周期为的奇函数C. 最小正周期为的奇函数
4、.D. 最小正周期为的偶函数【答案】C【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式，对函数解析式进行化简，然后判断奇偶性、最小正周期。【详解】显然是奇函数，周期为，故本题选C。【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，判断一个函数的奇偶性，求一个函数的最小正周期。逆用公式是解题的关键。6.在中，则角为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接使用余弦定理，求出角的值。【详解】由余弦定理可知：,代入中得：，故本题选C。【点睛】本题考查了余弦定理。7.如图，在正方体中，分别是中点，则异面直线与所成角大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过中位线定理可以得到在正方体中，可
5、以得到所以这样找到异面直线与所成角，通过计算求解。【详解】分别是中点，所以有而，因此异面直线与所成角为在正方体中，, 所以，故本题选C。【点睛】本题考查了异面直线所成的角。8.已知圆锥侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的高为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过题意可知圆锥的母线长，通过半径为，圆心角为的扇形，可以求出圆锥底面的周长，进而求出半径的长，利用勾股定理，计算求得圆锥的高。【详解】扇形的半径为，圆心角为，所以弧长，因此圆锥的底面周长为，所以圆锥底面半径=1，由题意可知圆锥的母线长为6，由勾股定理可知：圆锥的高故本题选A。【点睛】本题考查了求圆锥的高。
6、解决本题的关键是圆锥与圆锥侧面展开图之间的联系。9.记的三内角的对边边长分别为，若则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，可得，利用二倍角公式，进行化简，通过正弦定理实现角边转化，根据已知，即可求出的值。【详解】由 （1）,由正弦定理可知：,代入（1）中 ，可得，又 ，故本题选D。【点睛】本题考查了正弦定理、二倍角的正弦公式。10.已知中，角的对边边长分别为，若，则的形状为( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不确定【答案】C【解析】，所以又联立两式得.故本题正确答案为11.已知正四棱柱中，分别为上的点若，则三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D.
7、 【答案】B【解析】【分析】由于是动点，所以求三棱锥的体积，可以转化求三棱锥的体积,正四棱柱中，可以知道面，通过，可以求出到平面的距离，再计算出三角形的面积，最后求出三棱锥的体积。【详解】求三棱锥的体积，可以转化求三棱锥的体积。在正四棱柱中，可知面，而，所以到平面的距离为2，正方形的面积为，所以，故本题选 B。【点睛】本题考查了求三棱锥的体积。解决此类问题一般用等积法。12.在锐角中，分别为内角所对的边，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据锐角和 ，可以求出角的取值范围，利用正弦定理，可以求出的表达式，对进行化简，最后求出的取值范围。【详解】在锐角 ，
8、所以有，解得,由正弦定理可知：，又 ，故本题选D。【点睛】本题考查了正弦定理的应用。二、填空题.13.已知，则_【答案】【解析】【分析】由同角的三角函数关系，可以求出的值，利用二倍角的正切公式直接求解。【详解】 。【点睛】本题考查了二倍角的正切公式及同角的三角函数关系。14.中，则边上中线的长为_【答案】【解析】【分析】通过余弦定理可以求出的长，而，用余弦定理求出的表达式，代入上式可以直接求出的长。【详解】由余弦定理可知：,设，由余弦定理可知：而，即解得，故边上中线的长为。【点睛】本题考查了利用余弦定理求三角形中线长的问题。本题也可以应用中点三角形来求解，过程如下：延长至，使得,易证出, ,由
9、余弦定理可得：. 。15.已知关于的方程有实数解，则实数的取值范围是_ 【答案】【解析】【分析】把方程看成关于的函数，求出该函数的值域即可。详解】 实数的取值范围是【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式。重点考查了当三角方程有解，参数的取值范围问题。16.已知三条线段两两垂直，长分别是，且 个点都在同一个球面上，这个球的表面积为，则的值_【答案】【解析】【分析】由三条线段两两垂直，可以想到长方体模型，通过球的表面积，可以求出球的直径，而球的直径恰好是长方体的对角线，通过计算得出的值。【详解】设球的半径为，球的表面积为，已知三条线段两两垂直，构造如下图所示的长方体：，的值为3.【点睛】本题考查了四点
10、共球问题,考查了补体的思想，属于基础题。三、解答题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明或演算步骤17.已知三棱锥中，.若平面分别与棱、相交于点、，且平面， 求证：（1） ；（2）.【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）要证明 ，可以证明平面；（2）由已知线面平行，可以证出线线平行，利用线面平行的判定定理，可以证明出线面平行。【详解】（1），.又平面，平面， 平面. 又 .（2）平面，平面平面 ，平面又，所以【点睛】本题考查了线线垂直、线面平行。18.在中，已知（1）求角的大小；（2）求的值【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）直接使用余弦定理即可得
11、解；（2）法1：由（1）可以求出，由三角形内角和定理，可以求出的关系，用正弦定理，求出,进而求出，也就求出，最后求出的值；法2：直接利用余弦定理得，再利用同角的三角函数关系，求出，最后利用二角差的余弦公式求出的值。【详解】解：(1)由余弦定理得：，因为，所以 (2)法1 由正弦定理得：，所以又因为，所以即，所以所以，因为所以，所以，所以 法2 直接利用余弦定理得，求得，所以【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理。19.如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面（1）证明：平面平面；（2）设，求点到平面的距离【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）由是的直径，可以得到线线垂直。再由
12、已知线面垂直，得到另一组线线垂直，利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后利用面面垂直的判定定理证出面面垂直。（2）过点作的垂线，垂足为，利用等积法，可以求出点到平面的距离。【详解】（1）是的直径，点是上的动点，即又垂直于所在平面，平面，又，平面又平面，平面平面 （2）由（1）知平面平面，平面平面，过点作的垂线，垂足为，显然平面，即为三棱锥的高在中，所以，由，得即点到平面的距离为，三棱锥的高为【点睛】本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质，同时也考查了利用等积法求点到面距离。20.已知，若，求的值【答案】【解析】【分析】首先判断已知给定的两个角的范围，然后利用同角的三角函数的关系，求出，的
13、值，利用二角差的正弦公式直接求解。【详解】由，得由，得；，得所以 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系以及二角差的正弦公式。解决此类问题的关键是通过已知的角之间的关系构造出所求的角。21.在中，角的对边分别为，且，（1）求的值；（2）若求的面积【答案】（1）3（2）78【解析】试题分析：（1）由两角和差公式得到，由三角形中的数值关系得到，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.解析：（1）在中，由，得为锐角，所以，所以， 所以. （2）在三角形中,由，所以， 由， 由正弦定理,得，所以的面积. 22.某小区内有一块以为圆心半径为20米的圆形区域.
14、广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内且在圆外的区域，其中，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过60米.设.（1）求的长（用表示）；（2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？【答案】(1) (2)能符合要求【解析】【分析】（1）利用垂径定理，可以得到一个直角三角形，可以求出的长；（2）根据垂线段最短这个性质，可以得到点处的观众离点最远，利用余弦定理求出的长，求出它的最大值，与60进行比较，得出结论。【详解】解：（1）过点作垂直于，垂足为在直角三角形中，所以，因此 （2）由图可知，点处的观众离点最远在三角形中，由余弦定理可知 因为，所以当，即时，8001600，
