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1、河南省鲁山县第一高级中学2020届高三数学上学期期末考试试题 文一、单选题1已知命题,总有,则为A,使得 B,使得C,总有 D,总有2在一个棱长为的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有颜色的概率是（ ）ABCD3函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（ ）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度4执行如图所示的程序框图，若输出的值为2，则判断框中可以填入的条件是（）An999Bn9999 Cn9999Dn9995. 某高校为调查
2、学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：临界值参考: （参考公式：，其中）参照附表，得到的正确结论是A在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”B在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”C有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”D有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”6在ABC中，已知向量与满足，且，则ABC为（）A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等腰直角三角形7已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足
3、为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为()A2BCD38.元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两秤=10斤,1斤=10两,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银 A. 两 B. 两 C. 两 D. 两9设，设函数，则当变化时，函数的零点个数可能是（ ）A.1个或2个 B.1个或3个 C.2个或3个 D.1个或2个或3个10小金同学在学校中贯彻着“在玩中学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的
4、奥妙：有、三个木桩，木桩上套有编号分别为、的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到木桩上，则所需的最少次数为（ ）ABCD11已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，则不等式的解集为A，BC，D12定义在上的函数若满足：对任意、，都有；对任意，都有，则称函数为“中心撇函数”，点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心撇函数”，且满足不等式，当时，的取值范围为（ ）ABCD2、 填空题13 已知复数，则14.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的准线为l,直线l与双曲线的两条
5、渐近线分别交于A,B两点,则p的值为_15.在中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知,且,则的面积为_16如图，在边长为3正方体中，为的中点，点在正方体的表面上移动，且满足，当P在CC1上时，AP=_,点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积是_. 三、解答题17已知向量，函数，且当，时，的最大值为.（1）求的值，并求的单调递减区间；（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和.18已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19在四棱锥中，,，
6、为中点，为中点，为中点,（1）求证： 平面；（2）证明：平面；（3）求三棱锥的体积.20已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点(异于左右顶点)，椭圆C的左顶点为D，试判断直线AD的斜率与直线BD的斜率之积与的大小，并说明理由.21已知函数.（1）若函数存在不小于的极小值，求实数的取值范围；（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.22已知曲线：和：，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（）求出，的普通方程.（）若曲线上的点到曲线的距离等于为，求
7、的最大值并求出此时点的坐标；23已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若时，恒成立，求实数的取值范围.参考答案1-12 ABABA DADDD BA3、 填空题13.已知复数，则【答案】【解答】，14.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的准线为l,直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,则p的值为_【答案】【解答】解：抛物线的准线为l：,双曲线的两条渐近线方程为,可得,则,可得故答案为15.在中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知,且,则的面积为_【答案】【解答】解：在中,由余弦定理得,则,由正弦定理得,16如图，在边长为3正方体中，为的中点，点在正方体的表面上移动，且满
8、足，当P在CC1上时，AP=_,点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积是_. 【答案】,.【详解】取，的中点分别为，连结，由于，所以四点共面，且四边形为梯形，因为，所以面，因为点在正方体表面上移动，所以点的运动轨迹为梯形，如图所示：因为正方体的边长为3，所以当点P在CC1上时，点P为CC1的中点N，又，所以梯形为等腰梯形，所以。三、解答题17已知向量，函数，且当，时，的最大值为.（1）求的值，并求的单调递减区间；（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和.【答案】（1），；（2）.【详解】（1）函数，
9、得.即，由题意得，得所以，函数的单调减区间为.（2）由题意，又，得解得：或即或或故所有根之和为.18已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】解：（1） ，由及得，则数列是首项，公差的等差数列，所以 （2）由（1）得 ，则19在四棱锥中，,，为中点，为中点，为中点,（1）求证： 平面；（2）证明：平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）解析：（1）因为为的中点，为中点，则在中，平面, 平面, 则平面 20已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.
10、(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点(异于左右顶点)，椭圆C的左顶点为D，试判断直线AD的斜率与直线BD的斜率之积与的大小，并说明理由.【答案】(1)；(2).【详解】(1)设椭圆的标准方程为为，由题，.即,椭圆C的方程为.(2)直线AD与直线BD的斜率之积为定值，且定值为由题易知当直线AB的斜率不存在时，易求当直线AB的斜率存在时，可设直线AB的方程为，设联立可得，则故直线AD与直线BD的斜率之积为定值.21已知函数.（1）若函数存在不小于的极小值，求实数的取值范围；（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数的定义域
11、为，.当时，函数在区间上单调递减，此时，函数无极值；当时，令，得，又当时，；当时，.所以，函数在时取得极小值，且极小值为.令，即，得.综上所述，实数的取值范围为；（2）当时，问题等价于，记，由（1）知，在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，所以，当时，由可知，所以成立；当时，设恒成立，所以在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，所以.所以，函数在区间上单调递增，从而，命题成立.当时，显然在区间上单调递增，记，则，当时，所以，函数在区间上为增函数，即当时，.，由于，显然设，由可知在区间上单调递增所以在区间内，存在唯一的，使得，故当时，即当时，不符合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围是.22已
12、知曲线：和：，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（）求出，的普通方程.（）若曲线上的点到曲线的距离等于为，求的最大值并求出此时点的坐标；【答案】（），；（）【详解】（）则，又则（）方法一：（利用椭圆的参数方程）设椭圆则点到曲线的距离：当此时，所以方法二：（利用平行相切）设联立方程组由，得则直线都和椭圆相切则即为直线的距离即此时，则，故点23已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）.【详解】（I）当时，当时，得，无实数解；当时，得所以；当时，得恒成立，得.综上，不等式的解集为.（II）时，恒成立，等价于在恒成立.等价于，即在恒成立.即时，因为时，所以，即实数的取值范围是.- 19 -
