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1、1.4生活中的优化问题举例1如果圆柱截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A.3 B.3C.3 D.3解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h，Vr2hr22r3.则Vlr6r2，令V0，得r0或r，而r0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为3.答案A2若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为()A2r2 Br2 C4r D.r2解析设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则由组合体的知识得h2(2x)2(2r)2，又圆柱的侧面积S2xh，S2162(r2x2x4)，(S2)162(2r2x4x3)，令(S2)0得xr(x0舍去)，Smax2r2，故选
2、A.答案A3某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A150 B200 C250 D300解析由题意得，总利润P(x)令P(x)0，得x300，故选D.答案D4有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x_.解析可列出V(62x)(42x)x，求导求出x的最大值答案5如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省
3、时，堆料场的长和宽分别为_解析要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙壁总长度L2x(x0)，则L2.令L0，得x16.x0，x16.当x16时，Lmin64，此时堆料场的长为32(米)答案32；166如图所示，已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长解设矩形边长AD2x，则|AB|y4x2，则矩形面积为S2x(4x2)(0x2)，即S8x2x3，S86x2，令S0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x时，S0，所以当x时，S取得最大值，此时，S最大值.即矩形的边长分别为，时，矩形的面积最大7设
4、底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A. B. C. D2解析设底面边长为x，侧棱长为l，则Vx2sin 60l，l，S表2S底3S侧x2sin 603xlx2，S表x.令S表0，x34V，即x.又当x时，S表0，当x时，表面积最小答案C8把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()A. cm2 B4 cm2C3 cm2 D2 cm2解析设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4x)cm，则这两个正三角形的面积之和为Sx2(4x)2(x2)242(cm2)，故选D.答案D9在半径为r的圆内，作
5、内接等腰三角形，当底边上的高为_时它的面积最大解析如图，设OBC，则0，ODrsin ，BDrcos .SABCrcos (rrsin )r2cos r2sin cos .令Sr2sin r2(cos2sin2)0.cos 2sin .12sin2sin ，解之sin ，0.，即当时，ABC的面积最大，即高为OAODr时面积最大答案10做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_解析设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则VR2L27，L，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表R22RLR22，S(R)2R0，R3，则当R3时，S表最小答案311某地建一座
6、桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64
7、x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小12(创新拓展)如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解设箱子的底边长为x cm，则箱子高h cm.箱子容积VV(x)x2h(0x60)求V(x)的导数，得V(x)60xx20，解得x10(不合题意，舍去)，x240.当x在(0,60)内变化时，导数V(x)的正负如下表：x(0,40)40(40,60)V(x)0因此在x40处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值将x40代入V(x)得最大容积V40216 000(cm3)所以箱子底边长取40 cm时，容积最大，最大容积为16 000 cm3.5
