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1、综合仿真练(三)(理独)1本题包括A、B、C三个小题,请任选二个作答A选修42:矩阵与变换设a,bR.若直线l:axy70在矩阵A对应的变换作用下,得到的直线为l:9xy910.求实数a,b的值解:法一:在直线l:axy70上取点M(0,7),N(1,7a),由,可知点M(0,7),N(1,7a)在矩阵A对应的变换作用下分别得到点M(0,7b),N(3,b(7a)1),由题意可知:M,N在直线9xy910上,解得实数a,b的值分别为2,13.法二:设直线l上任意一点P(x,y),点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q(x,y),则,由Q(x,y)在直线l:9xy910上,27x(xby)910,即
2、26xby910,点P在axy70上,解得a2,b13.实数a,b的值分别为2,13.B选修44:坐标系与参数方程(2019南通、泰州等七市三模)在直角坐标平面内,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点A,B的极坐标分别为,曲线C的方程为r(r0)(1)求直线AB的直角坐标方程;(2)若直线AB和曲线C有且只有一个公共点,求r的值解:(1)分别将A,B转化为直角坐标为A(0,4),B(2,2),所以直线AB的直角坐标方程为3xy40.(2)曲线C的方程为r(r0),其直角坐标方程为x2y2r2(r0)因为直线AB和曲线C有且只有一个公共点,所以直线与圆相切,因为圆心到直线AB的
3、距离为,所以r的值为.C选修45:不等式选讲已知a,bR,abe(其中e是自然对数的底数),求证:baab.证明:ba0,ab0,要证baab,只要证aln bbln a, 只要证,构造函数f(x),x(e,)则f(x),x(e,),f(x)be时,有f(b)f(a),即,故baab得证2(2019苏州中学期初)甲、乙两名运动员站在A,B,C三处进行定点投篮训练,每人在这三处各投篮一次,每人每次投篮是否投中均相互独立,且甲、乙两人在A,B,C三处投中的概率均分别为,.(1)设X表示甲运动员投中的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率解:(1)根
4、据题意可知,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X0);P(X1);P(X2);P(X3).所以X的分布列为X0123P所以E(X)0123.(2)设Y表示乙运动员投中的个数,由(1)可知,P(Y0),P(Y1),P(Y2),P(Y3).所以P(X2,Y3)P(X3,Y2),P(X3,Y3),所以P(XY5)P(X2,Y3)P(X3,Y2)P(X3,Y3).所以甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率为.3设P(n,m)(1)kC,Q(n,m)C,其中m,nN*.(1)当m1时,求P(n,1)Q(n,1)的值;(2)对mN*,证明:P(n,m)Q(n,m)恒为定值解:(1)当m1时,P(n,1)(1)kC(1)kC,又Q(n,1)Cn1,显然P(n,1)Q(n,1)1.(2)证明:P(n,m)(1)kC1(1)k(CC)(1)n(1)kC(1)kCP(n1,m)(1)kCP(n1,m)(1)kCP(n1,m)P(n,m)即P(n,m)P(n1,m),由累乘,易求得P(n,m)P(0,m),又Q(n,m)C,所以P(n,m)Q(n,m)1为定值4