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1、3.5.2 简单线性规划 教案教学目标（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力教学重点、难点二元线性规划问题的解法的掌握教学过程一问题情境1问题：在约束条件下，如何求目标函数的最大值？二建构数学首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图（1）所示其次，将目标函数变形为的形式，它表示一条直线，斜率为，且在轴上的截距为平移直线，当它经过两直线与的交点时，直线在轴上的截距最大，如图（2）所示因此，当时，目
2、标函数取得最大值，即当甲、乙两种产品分别生产和时，可获得最大利润万元这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题其中使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决说明：平移直线时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）三数学运用例1设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值解：由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域由图知，原点不在公共区域内，当时，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，可知：当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大
3、由图象可知，当直线经过点时，对应的最大，当直线经过点时，对应的最小，所以，例2设，式中满足条件，求的最大值和最小值解：由引例可知：直线与所在直线平行，则由引例的解题过程知，当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当经过点时，对应最小，例3已知满足不等式组，求使取最大值的整数解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，作一组平行线：平行于：，当往右上方移动时，随之增大，当过点时最大为，但不是整数解，又由知可取，当时，代入原不等式组得， ；当时，得或， 或；当时， ，故的最大整数解为或例4投资生产A产品时，每生产100吨
4、需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：资 金（百万元）场 地（平方米）利 润（百万元）A产品223B产品312限 制149然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解解：设生产A产品百吨，生产B产品米，利润为百万元，则约束条件为，目标函数为作出可行域（如图），将目标函数变形为，它表示斜率为，在轴上截
5、距为的直线，平移直线，当它经过直线与和的交点时，最大，也即最大此时，因此，生产A产品百吨，生产B产品米，利润最大为1475万元说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：设出未知数；列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）；建立目标函数；求最优解（2）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点四回顾小结：1简单的二元线性规划问题的解法2巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法；3用画网格的方法求解整数线性规划问题。4解线性规划应用题的一般步骤：设出未知数；列出约束条件；建立目标函数；求最优解。五课外作业：课本第94页 练习A第1，2题； 第96页 习题3-5 第A/B用心 爱心 专心
