《高中数学《导数在研究函数中的应用》同步练习4新人教A选修22.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学《导数在研究函数中的应用》同步练习4新人教A选修22.doc(32页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、导数及其应用高考题第1题. 2007海南、宁夏文)设函数()讨论的单调性;()求在区间的最大值和最小值答案:解:的定义域为()当时,;当时,;当时,从而,分别在区间,单调增加,在区间单调减少()由()知在区间的最小值为又所以在区间的最大值为第2题. (2002海南、宁夏理)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()答案:第3题. (2007海南、宁夏理)设函数(I)若当时,取得极值,求的值,并讨论的单调性;(II)若存在极值,求的取值范围,并证明所有极值之和大于答案:解:(),依题意有,故从而的定义域为当时,;当时,;当时,从而,分别在区间单调增加,在区间单调减少()的定义域为,方程的判别
2、式()若,即,在的定义域内,故无极值()若,则或若,当时,当时,所以无极值若,也无极值()若,即或,则有两个不同的实根,当时,从而在的定义域内没有零点,故无极值当时,在的定义域内有两个不同的零点,由极值判别方法知在取得极值综上,存在极值时,的取值范围为的极值之和为第4题. (2007湖南理)函数在区间上的最小值是 答案:第5题. (2007湖南文)已知函数在区间,内各有一个极值点(I)求的最大值;(II)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式答案:解:(I)因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在,内分别有
3、一个实根,设两实根为(),则,且于是,且当,即,时等号成立故的最大值是16(II)解法一:由知在点处的切线的方程是,即,因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,则不是的极值点而,且若,则和都是的极值点所以,即又由,得故解法二:同解法一得因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号于是存在()当时,当时,;或当时,当时,设,则当时,当时,;或当时,当时,由知是的一个极值点,则所以又由,得,故第6题. (2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为,则_答案:第7题. (2007江西理)设在内单调递增,则是的()充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要
4、条件答案:B第8题. (全国卷I理)设函数()证明:的导数;()若对所有都有,求的取值范围答案:解:()的导数由于,故(当且仅当时,等号成立)()令,则,()若,当时,故在上为增函数,所以,时,即()若,方程的正根为,此时,若,则,故在该区间为减函数所以,时,即,与题设相矛盾综上,满足条件的的取值范围是第9题. (2007全国I文)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()答案:A第10题. (2007全国I文)设函数在及时取得极值()求a、b的值;()若对于任意的,都有成立,求c的取值范围答案:(),因为函数在及取得极值,则有,即解得,()由()可知,当时,;当时,;当时,所以,当时,取
5、得极大值,又,则当时,的最大值为因为对于任意的,有恒成立,所以,解得或,因此的取值范围为第11题. (2007全国II理)已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:答案:解:(1)求函数的导数:曲线在点处的切线方程为:,即(2)如果有一条切线过点,则存在,使于是,若过点可作曲线的三条切线,则方程有三个相异的实数根记,则当变化时,变化情况如下表:000极大值极小值由的单调性,当极大值或极小值时,方程最多有一个实数根;当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根;当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根综上,如果过可作曲线三条切线,即有三个相异的实数根,则即
6、第12题. (2007陕西理)设函数,其中为实数(I)若的定义域为,求的取值范围;(II)当的定义域为时,求的单调减区间答案:解:()的定义域为,恒成立,即当时的定义域为(),令,得由,得或,又,时,由得;当时,;当时,由得,即当时,的单调减区间为;当时,的单调减区间为第13题. (2007浙江理)设,对任意实数,记(I)求函数的单调区间;(II)求证:()当时,对任意正实数成立;()有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立答案:(I)解:由,得因为当时,当时,当时,故所求函数的单调递增区间是,单调递减区间是(II)证明:(i)方法一:令,则,当时,由,得当时,当时,所以在内的最小值是故当时,
7、对任意正实数成立方法二:对任意固定的,令,则,由,得当时,当时,所以当时,取得最大值因此当时,对任意正实数成立(ii)方法一:由(i)得,对任意正实数成立即存在正实数,使得对任意正实数成立下面证明的唯一性:当,时,由(i)得,再取,得,所以,即时,不满足对任意都成立故有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立方法二:对任意,因为关于的最大值是,所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是:,即,又因为,不等式成立的充分必要条件是,所以有且仅有一个正实数,使得对任意正实数成立第14题. (2007湖北理)已知定义在正实数集上的函数,其中设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同(I)用表示,并求的最大值
8、;(II)求证:()答案:本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力解:()设与在公共点处的切线相同,由题意,即由得:,或(舍去)即有令,则于是当,即时,;当,即时,故在为增函数,在为减函数,于是在的最大值为()设,则故在为减函数,在为增函数,于是函数在上的最小值是故当时,有,即当时,第15题. (2007安徽文)设函数,其中,将的最小值记为(I)求的表达式;(II)讨论在区间内的单调性并求极值答案:解:(I)我们有 由于,故当时,达到其最小值,即 (II)我们有列表如下:极大值极小值由此可见,在区间和单调增加,在区间单调减小,极小值为,极大值为第16题.
9、 设,()令,讨论在内的单调性并求极值;()求证:当时,恒有答案: ()解:根据求导法则有,故,于是,列表如下:20极小值故知在内是减函数,在内是增函数,所以,在处取得极小值()证明:由知,的极小值于是由上表知,对一切,恒有从而当时,恒有,故在内单调增加所以当时,即故当时,恒有第17题. (2007天津理)已知函数,其中()当时,求曲线在点处的切线方程;()当时,求函数的单调区间与极值答案:()解:当时,又,所以,曲线在点处的切线方程为,即()解:由于,以下分两种情况讨论(1)当时,令,得到,当变化时,的变化情况如下表:00极小值极大值所以在区间,内为减函数,在区间内为增函数函数在处取得极小值
10、,且,函数在处取得极大值,且(2)当时,令,得到,当变化时,的变化情况如下表:00极大值极小值所以在区间,内为增函数,在区间内为减函数函数在处取得极大值,且函数在处取得极小值,且第18题. (2007天津理)已知函数,其中()当时,求曲线在点处的切线方程;()当时,求函数的单调区间与极值答案:()解:当时,又,所以,曲线在点处的切线方程为,即()解:由于,以下分两种情况讨论(1)当时,令,得到,当变化时,的变化情况如下表:00极小值极大值所以在区间,内为减函数,在区间内为增函数函数在处取得极小值,且,函数在处取得极大值,且(2)当时,令,得到,当变化时,的变化情况如下表:00极大值极小值所以在
11、区间,内为增函数,在区间内为减函数函数在处取得极大值,且函数在处取得极小值,且第19题. (2007福建理)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交元()的管理费,预计当每件产品的售价为元()时,一年的销售量为万件()求分公司一年的利润(万元)与每件产品的售价的函数关系式;()当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润最大,并求出的最大值答案: 解:()分公司一年的利润(万元)与售价的函数关系式为:() 令得或(不合题意,舍去),在两侧的值由正变负所以(1)当即时,(2)当即时,所以答:若,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润最大,最大值(万元);若,则当每
12、件售价为元时,分公司一年的利润最大,最大值(万元)第20题. (2007广东文)函数的单调递增区间是答案:第21题. (2007广东文)已知函数,是方程的两个根,是的导数设,(1)求的值;(2)已知对任意的正整数有,记求数列的前项和答案:解:(1) 由 得 (2) 又 数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列; 第22题. (2007山东理)设函数,其中()当时,判断函数在定义域上的单调性;()求函数的极值点;()证明对任意的正整数,不等式都成立答案:解:()由题意知,的定义域为,设,其图象的对称轴为,当时,即在上恒成立,当时,当时,函数在定义域上单调递增()由()得,当时,函数无极值点时,有两个相同的解,时,时,时,函数在上无极值点当时,有两个不同解,时,即,时,随的变化情况如下表: