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1、定积分定积分的应用是我们学习的重点内容,为使同学们更好地理解和掌握它,下面就其在几方面的应用进行举例解析一、求平面图形面积例如图所示,求直线与抛物线所围成的图形的面积分析:运用定积分求面积,需确定出被积函数和积分的上、下限,因此需要先求出两条曲线的交点的横坐标解:由方程组,得,故所求图形面积为点评:求由曲线围成的平面图形的面积,一般是应先画出它的草图,借助图形的直观性确定出被积函数以及积分的上、下限,进而由定积分求出其面积二、求解变速直线运动问题例2A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出ts后到达途中C点,这一段速度为1.2t(m/s),到点的速度为24m/s,从点到点前的
2、点以等速行驶,从点开始刹车,经t s后,速度为(m/s),在点恰好停车试求:(1)A、C间的距离;(2)B、D间的距离;(3)电车从A站到B站所需的时间分析:作变速运动的物体经过的路程S,等于其速度函数在时间区间上的定积分,即需根据题意写出函数,确定时间区间,用定积分求解解:(1)设A到C经过s,由,得(s),所以(m);(2)设从DB经过s,由,得(s),所以(m);(3)从C到D的时间(s)于是电车从A站到B站所需的时间为(s)点评:用定积分解决变速运动的位置与路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键三、求解变力做功问题例3设有一长25cm的弹簧,若加以100的力,则弹簧伸长到30cm,求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功分析:因为弹簧的力是一个变力,所以不能用常规的方法求解,要用定积分去求解解:设以x表示弹簧伸长的厘米数,表示加在弹簧上的力的大小,k表示弹簧系数,则依题意使弹簧伸长5cm,需力100,即,于是现在需计算由到所做的功:点评:解决这类问题的关键是弄明白做功的力是恒力还是变力,一物体在恒力作用下,沿着与相同的方向移动了,则所做的功是若力是变力,由定积分的定义,物体沿与相同方向从移动到时力所做的功是2用心 爱心 专心