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1、江苏省天一中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（强化班，含解析）一、填空题。1.已知全集，集合，若，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出集合A的补集，结合，即可确定实数的取值范围.【详解】与B必有公共元素即【点睛】本题主要考查了集合间的交集和补集运算，属于基础题.2.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意得考点：命题真假【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M
2、中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.3.设是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos x，则tan _.【答案】【解析】【分析】先根据已知和三角函数的坐标定义得到cos x，解方程解答x的值，再利用三角函数的坐标定义求tan 的值.【详解】因为是第二象限角，所以cos x0，即x0.又cos x，解得x3，所以tan .故答案为：【点睛】（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的掌握
3、水平和分析推理能力.(2) 点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin= cos=, tan= .4.若曲线经过T变换作用后纵坐标不变、横坐标变为原来2倍，则T变换所对应的矩阵_.【答案】【解析】【分析】根据伸缩变换性质即可得出【详解】设在这个伸缩变换下，直角坐标系内任意一点对应到点 则 从而对应的二阶矩阵【点睛】本题主要考查了伸缩变换对应矩阵，属于基础题.5.已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】对命题进行化简，将转化为等价命题，即可求解.【详解】又是的充分条件，即，它的等价命题是 ，解得【点睛】本题主要考查了四种命题的关系
4、，注意原命题与逆否命题的真假相同是解题的关键.6.在中，则_【答案】【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到，再由二倍角公式得到结果.【详解】，即.，由二倍角公式得到：，.故答案为：.【点睛】这个题目考查了特殊角的三角函数值的应用，以及二倍角公式的应用属于基础题.7.在极坐标系中，两点间的距离_.【答案】6【解析】【分析】求出的大小，得出A,O,B三点共线，即可求解.【详解】设极点为O，由题意可知即A,O,B三点在一条直线上所以【点睛】本题主要考查了极坐标的性质，要清楚极坐标 的含义，属于基础题.8.外接圆的半径为1，圆心为O，且，则_.【答案】3【解析】【分析】利用向量的运算法则将已知等式
5、化简得到,得到BC为直径,故为直角三角形,求出三边长可得的值,利用两个向量的数量积的定义求出的值.【详解】,.,B,C共线,BC为圆的直径,. ,故.则,【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的充要条件、圆的直径对的圆周角为直角,求出为直角三角形及三边长,是解题的关键.9.已知函数，则的解集是_.【答案】【解析】【分析】讨论的值，去掉绝对值，作出函数图像，由图象可得原不等式或，分别求出它们，再求并集即可.【详解】根据题意，当时，当时，由函数的图象可得在上递增，不等式即为或，化简得或，解得或，即，故解集为。【点睛】本题主要考查了函数的单调性以及一元二次不等式的解法，利用图像来分
6、析不等式的解是解题的关键，属于中档题.10.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是_.【答案】【解析】【分析】根据题设条件得出是函数的最大值或最小值，从而得到，结合，最后得到，再根据正弦函数的单调性得到所求函数的单调增区间.【详解】解:若对恒成立,则等于函数的最大值或最小值,即, 则 , 又 ,即 令 ,此时 ,满足条件令, 解得.则的单调递增区间是 .故答案为: .【点睛】本题考查的重点是三角函数的单调区间以及形式变换,需要重点掌握.11.设函数是定义在上可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】根据题意,构造函数, ,利用导数判断的单调性,再
7、把不等式化为,利用单调性求出不等式的解集.【详解】解:根据题意,令,其导函数为时,在上单调递增;又不等式可化为,即,;解得,该不等式的解集是为.故答案为:.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题,是综合性题目.12.如图，在平面四边形中，.若点为上的动点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，得出，利用向量的数量积公式即可得出，结合，得出的最小值.【详解】因为，所以以点为原点，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以，又因为，所以直线的斜率为，易得，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，令，解得
8、，所以，设点坐标为，则，则，所以 又因为，所以当时，取得最小值为。【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程。13.如图，在三角形中，D为边上一点， 且，则为_. 【答案】【解析】【分析】延长AD,过点C作,垂足为E,由,则,设,则,可证明,则,从而求得,即的值.【详解】解:如图,延长AD,过点C作,垂足为E,设,则, ,则,.故答案为:.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义,相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质,基础知识要熟练掌握.14.已知函数，若函数有两个极值点，且，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】对函数求导，函数有两个极值点，则，
9、化简得到，利用换元法令，则，构造函数，利用导数求出，结合将参数分离出来，构造函数，即可得出.【详解】 所以，令，所以 令 ，则 令 ，则 所以在上单调递减，所以 所以在上单调递减，所以 令 ，则 恒成立所以在上单调递增，即【点睛】已知函数有零点，求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数值城问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解二、解答题：解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(1)已知可逆矩阵的逆矩阵为，求的
10、特征值.(2)变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是：变换对应用的变换矩阵是，求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】(1)根据得出的逆矩阵，结合特征值的性质即可求解;(2)先求出,再求点的变换，从而利用函数求出变换作用下所得曲线的方程.【详解】（1）解：由可知，所以，所以，；所以，由，.（2）.设变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，也就是，即，所以所求曲线的方程是.【点睛】本题主要考查了逆矩阵、特征值以及矩阵变换等知识，意在考查运算求解能力，属于中档题.16.(1)已知直线经过点，倾斜角.设与圆相交与两点A，B，求点P到两点的
11、距离之积.(2)在极坐标系中，圆C的方程为，直线的方程为.若直线过圆C的圆心，求实数的值；若，求直线被圆C所截得的弦长.【答案】（1）2；（2）；【解析】【分析】（1）求出直线的参数方程，并代入圆的方程，利用直线参数方程的几何意义即可求解；（2）将极坐标方程化为直角坐标方程，将圆心代入直线即可求出先求出圆心到直线的距离，根据弦长公式即可得出直线被圆C所截得的弦长.【详解】（1）直线的参数方程为，即. 把直线代入，得，则点P到A，B两点的距离之积为2. （2）以极点为坐标原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系.由得，则圆C的直角坐标方程是，圆心坐标为，半径. 由，得，则直线l的直角坐标方程是.
12、若直线l通过圆C的圆心，则，所以. 若，则圆心到直线的距离，所以直线l被圆C所截得的弦长为.【点睛】本题主要考查了直线参数方程的几何意义以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，过点,且倾斜角为的直线的参数方程，属于基础题.17.已知的内角A的大小为，面积为.(1)若，求的另外两条边长；(2)设O为的外心，当时，求的值.【答案】（1）,；（2）或【解析】【分析】（1）由三角形面积公式得到AC边，再由余弦定理即可得出BC边；（2）由（1）可知，利用余弦定理可求，设的中点为，则，结合为的外心，可得，从而可求得。【详解】（1）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以因为，所以.由余弦定理得.（
13、2）由得，即，解得或4. 设的中点为D，则，因为O为的外心，所以，于是. 所以当时，； 当时，.【点睛】本题主要考查三角形的面积公式及余弦定理的应用以及向量的基本运算和性质的应用。属于中档题.18.给出如下两个命题：命题，；命题已知函数，且对任意，都有，求实数的取值范围，使命题为假，为真.【答案】【解析】分析】判断命题的否定为真时，实数的取值范围，从而得到命题为真时实数的取值范围，化简不等式可知只需在上是减函数。取绝对值讨论在不同区间内的解集即可。【详解】由已知，若命题，是真命题令则在区间没有零点令，可得，其对称轴为要使得区间没有零点 即解得实数的取值范围为则当命题p为真时， 因为，所以，。设
14、，依题意，在上是减函数，。当时，。令，得：对恒成立。设，则。因为，所以。所以在上是增函数，则当时，有最大值为，所以。当时，。令，得：。设，则，所以在上是增函数。所以，所以。综合，又因为在上是图形连续不断的，所以。故若q为真，则 则p真q假为 则q真p假 综上【点睛】本题主要考查了转化化归的思想以及导数的应用，存在性的命题可将其转化为否定命题，进而得到原命题的真假，属于难题.19.为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为的扇形地上建造市民广场，规划设计如图：内接梯形区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径，上，C，D在圆弧上，；上，；区域为文化展区，长为，其余空地为绿化区域，且长不得超过200m.(1)试确定A，B的位置，使的周长最大？(2)当的周长最长时，设，试将
