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1、高一数学空间两点间的距离公式学习目标主要概念： 空间两点、间的距离公式-教材分析一、重点难点 本节教学重点是空间两点间的距离公式，难点是空间两点间的距离公式的推导。二、教材解读 本节教材的理论知识有问题提出、公式推导、思考交流三个板块组成。第一板块 问题提出解读建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？在引入本节知识内容时，设置这个实际问题，其目的在于创设一种情境，一方面引起学生的兴趣，另一方面引起学生解决问题的求知欲望，使学生亲身体验到学习数学的意义和作用，培养学生学习的自觉性。第二板块 公式推导解读你能猜想一下空间两点、间的距离公式吗？如何证明？因空间
2、直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O再作一条垂直于这个平面的直线，因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式。故在介绍空间两点间的距离公式时，没有直接呈现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题，要敢于提出猜想的意识。在推导空间两点间的距离公式时，教材故意让学生经历一个从易到难，从特殊到一般的过程。其目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯。第三板块 思考交流解读如果|OP|是定长，那么表示什么图形？在平面直角坐标系中，方程表示以原点为圆心，半径为的圆，据此，学生不难将此推广到空间，得出表
3、示以原点为球心，半径为的球面。设计此问题的目的在于让学生将此方程与圆的方程进行类比，从而得到问题的答案。类似地不难将平面直角坐标系中的中点公式、定比分点公式，推广到空间直角坐标系中。拓展阅读学习了空间直角坐标系后，我们就可在空间直角坐标系中研究空间几何图形的有关问题。用坐标法解决有关立体几何问题时，与其它方法相比，可以避免烦琐的说理、证明，因此坐标法在求解有关立体几何问题中有着较广泛的应用，特别是在学习了向量的有关知识后，如将坐标法与向量方法相结合，那在研究立体几何问题时将显得更优越。在运用坐标法求解立几问题时，只需通过建立适当的空间直角坐标系，就可把立体几何问题转化成了纯代数问题，通过简便的
4、计算即可得出结论。坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：在立体几何图形中建立空间直角坐标系；依题意确定各相应点的坐标 ；通过坐标运算得到答案。下面仅举两例说明坐标法在研究立体几何有关问题时的应用。例1在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离。xH解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，则P(0,0，0)，A（a,o,o），B（o,a,o），C（o,o,a）.过P作PH平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离。PA=PB=PC,H为ABC的外心，又 ABC为正三角形，H为ABC的重心。由定比分点公式，
5、可得H点的坐标为|PH|=。点P到平面ABC的距离为。例2在棱长为a的正方体-中，求异面直线间的距离。解：以D为坐标原点，从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系。ABCDxyzPQH设P、Q分别是直线和上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，)，则由正方体的对称性，显然有x=y。 要求异面直线间的距离，即求P、Q两点间的最短距离。 设P在平面AC上的射影是H，由在中，所以，x=a-z，P的坐标为(a-z, a-z, z)|PQ|= =当时，|PQ|取得最小值，最小值为。异面直线间的距离为。网站点击 典型例题解析例1：已知A(x，2,3)、B(5,4，7)，且|
6、AB|=6，求x的值。点拨利用空间两点间的距离公式，寻找关于x的方程，解方程即得。解答|AB|=6， 即，解得x=1或x=9 x=1或x=9总结求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解。变式题演练已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7。答案：B(0,2，0)或B(0,8，0)。例2：求点P(1,2，3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标。点拨根据对称的定义求解。解答设点P关于坐标平面xOy的对称点为，连交坐标平面xOy于Q，则坐标平面xOy，且|PQ|=|Q|，在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合， 在z轴上的射影与P在z轴上的射影关于原点对称，与
7、P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，点P(1,2，3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2，-3)。总结对称问题，常用对称的定义求解。一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z)。变式题演练求点P(5,-2，3)关于点A(2,0，-1)的对称点的坐标。答案：(-1,2，-5)例3：点P在坐标平面xOy内，A点的坐标
8、为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹是什么？点拨因点P一方面在坐标平面xOy内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P在球面上，故点P的轨迹是坐标平面xOy与球面的交线。解答设点P的坐标为(x, y, z)。 点P在坐标平面xOy内，z=0 |PA|=5，即=25，点P在以点A为球心，半径为5的球面上，点P的轨迹是坐标平面xOy与以点A为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy内的圆，且此圆的圆心即为A点在坐标平面xOy上射影(-1,2，0)。点A到坐标平面xOy的距离为4，球面半径为5，在坐标平面xOy内的圆的半径为3。点P的轨迹是圆=9，z=0。总结对于空间直角坐标系
9、中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决。变式题演练点P在坐标平面xOz内，A点的坐标为(1,3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹方程。答案：点P的轨迹方程是=16，y=0。知识结构知识点图表空间两点间的距离球面方程学法指导 1、空间两点、间的距离反映在立体几何中，实质上是以、作为长方体的一条体对角线的端点的所在体对角线的长，其中此长方体的长为，宽为，高为。 2、球面是到定点的距离等于定长的点的集合，实质上是将平面中的圆推广到空间的结果。对于空间直角坐标系中的问题，要善于用类比于平面直角坐标系中相关问题的求解方法解决。 3、在求解空间直角坐标系中的对称问题时，要紧紧抓住对称的定义。要熟悉空间直角坐标系中，某点关于一些特殊的平面或直线或点的对称点的求法。一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z)。 4、空间两点、的连线的中点M，实质上就是点、的对称中心，故可利用对称为定义，不难求得M的坐标为。用心 爱心 专心 117号编辑 4
