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1、高一数学圆与圆的位置关系学习目标主要概念：圆与圆的位置关系-外离、外切、相交、内切、内含。教材分析一、重点难点 本节教材的教学重点是能根据给定两圆的方程，判断两圆的位置关系，以及求相交两圆的公共弦所在直线的方程及弦长。难点是判断两圆的位置关系和对相交两圆的公共弦所在直线方程的理解。二、教材解读 本节教材的理论知识有问题提出、探索求解、思考交流三个板块组成。教材在引入知识内容时，设置了两个问题，创设一种情境，一方面引起学生的兴趣，另一方面引起学生解决问题的求知欲望。第一板块 问题提出解读圆与圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？教材设置此两个问题的目的在于：一是唤起学生
2、对初中所学知识的回顾；二是让学生学会用研究直线与圆的位置关系的方法-代数法和几何法，类比地去研究圆与圆的位置关系。第二板块 探索求解解读圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系的判断1、圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切和内含五种。 2、圆与圆的位置关系的判断方法：(1)代数法：圆与圆有几个公共点，由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定；(2)几何法：依据连心线的长与两圆半径长的和或两圆半径长的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系，即 两圆外离；= 两圆外切；两圆相交；=两圆内切；d 两圆内含。第三板块 思考交流解读课本P.137例3提出：画出圆：与：以及方程x2y10表示的直线，你发现了
3、什么？你能说明为什么吗？通过作图，发现方程所表示的直线是两圆公共弦所在的直线。这是因为由方程、组成的方程组的解必满足方程，如果方程组有两组实数解，即两圆有两个公共点，这两个公共点必在方程确定的直线上，两点确定一条直线，方程表示的直线就是两圆的公共弦所在的直线。据此，更进一步地能否说要研究圆与圆的关系只要研究直线x2y10与圆（或）的关系就可以了呢？答案是肯定的。通过问题的开放性，触类旁通地提出问题，不仅体现了“化归”的思想，而且是颇具思考价值的教学中要注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，进行代
4、数证明，不应割断它们之间的联系，只强调其一方面。拓展阅读 前面介绍了过已知直线与圆的交点的圆系方程，那么经过已知两圆的交点有没有圆系方程呢？其形式又是怎样？ 经过两圆：，：的交点的圆系方程为()，其中为任意实数。 易证方程()表示的曲线经过两圆、的交点。圆系方程反映了一组圆的共性。 1、当两圆、相交时，方程()表示过两圆、的交点的圆系 (但方程()所表示的圆不包括圆，圆系中的一切圆都和、相交)； 2、当两圆、相切时，方程()表示过两圆、的切点的圆系 (但方程()所表示的圆不包括圆，圆系中的一切圆都和、相切)； 3、当两圆、不相交时，方程()表示互不相交的圆系 (但方程()所表示的圆不包括圆)。
5、 特别地，当=1时，方程()为此时的圆系方程为直线方程，我们称方程为两圆、的根轴，这样的圆系又称为共轴圆系。当两圆、相交时，方程表示两圆公共弦所在的直线方程；当两圆、相切时，方程表示过两圆切点的圆、的公切线方程。掌握了圆系的概念后，我们可迅速地解决一些求圆的方程或相交两圆公共弦所在的直线方程的问题。网站点击典型例题解析例1：求圆心为（2,1），且与已知圆相交所得的公共弦所在直线过点（5，2）的圆的方程。点拨由于已知圆心坐标，为此要求圆的方程只需求得圆的半径即可。解答设所求圆的方程为，即已知圆方程为，得公共弦所在直线的方程为公共弦所在直线过点（5，2），5450，4，所求圆的方程为总结当已知曲线
6、类型时，求其曲线方程的常用方法是待定系数法。变式题演练已知圆：，圆：（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程；（3）求公共弦的长度。答案：（1）圆的圆心为（3,0），半径为，圆的圆心为（0，2），半径为，又，圆与相交。（2）由，得公共弦所在的直线方程为。（3）圆心到直线的距离为，两圆公共弦的长度为。例2：求以圆和圆：的公共弦为直径的圆的方程点拨求出两圆的交点坐标，再求出圆心和半径；或利用圆系方程求解。解答解法一：相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0再由解得两圆的交点坐标A（1,2）、B（5,6）所求圆以AB为直径，所求圆的圆心是AB的中点M（2，2），圆的半径为rAB5
7、于是所求圆的方程为 解法二：设所求圆的方程为：即圆心坐标为C圆心C应在公共弦AB所在直线上， 所求圆的方程为总结解法一体现了确定圆的条件，求圆心和半径的这一基本方法；解法二采取了设所求圆的方程为圆系方程，再用求待定系数求解，解法二比较简练变式题演练 求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程。 答案：设所求圆的方程为，即则所求圆的圆心为圆心在直线上，解得 所求圆的方程为例3：求与圆相切于点P（3,6），且经过点Q（5,6）的圆的方程。点拨可将点P看成一个特殊的圆，利用圆系方程求解。解答切点P（3,6）在已知圆上，将它视为“点圆”：，故可建立圆系方程所求圆经过点Q（5，6），代入上述方程，解
8、得2故所求圆的方程为总结在求与已知直线或已知圆相切于某一已知点的圆的方程时，把切点视为“点圆”，并运用圆系方程求解，是一个重要的方法和技巧。变式题演练求圆心在直线上，且与圆相切于点B（1,2）的圆的方程。答案：设所求圆的方程为，即则所求圆的圆心为圆心在直线上，解得 所求圆的方程为例4：求证：C：与C：在同一交点处的切线互相垂直。点拨利用圆的几何性质证明，即证交点处的一圆的半径与另一圆在此处的半径垂直。解答设两圆交于点A、B，连CA、CA， ，|CA|=4，| CA|=2 ，即 由平面几何知识知：CA所在直线是C的切线，CA所在直线是C的切线， C与C在交点A处的切线互相垂直。 同理可证：C与C
9、在交点B处的切线互相垂直。总结本题利用了圆的几何性质，思路清晰、明快。可见，认真审题，充分利用图形的几何性质，有效地实施命题转换，寻找证题思路是十分重要的，这也是能力的体现。变式题演练 两圆在交点处的切线互相垂直，那么实数a的值为 .答案：2知识结构知识点图表两圆的位置关系两圆位置关系的判定圆系方程学法指导1、两圆的位置关系有五种，在判断两圆的位置关系时，还是用几何法从圆的几何性质（即利用圆心距和两圆半径的关系）出发为好，一方面较为简捷，另一方面若从代数法去判断两圆相切时，不管两圆是外切还是内切，由两圆的方程所组成的方程组都只有一组解，很难判断出是外切还是内切。2、要熟悉圆系方程在解题时的运用，利用圆系方程可达到简化运算的目的。用心 爱心 专心 117号编辑 6
