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1、二次函数、最简分式函数一 基础知识自测题：1 二次函数yax2bxc (a、b、c为常数，a0)的图象当 a0 时为 开口向上 的抛物线；当 a0时，函数的最 小 值是; 当a0 时为 第一、第三象限 的双曲线；当 k0 时为 第二、第四象限 的双曲线。5 将函数y的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的图象是函数 的图象。 6 已知函数yx27x2, x0, 2)，则( C )。(A) ymin2, ymax (B) ymin2, ymax12 (C) ymin2, 无最大值 (D) ymin0, ymax27 函数y的值域是。8 不等式的解集是 (, 3)(2, 1)1, ) 。二
2、基本要求、基本方法：1 理解二次函数、分式函数的概念。2 掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。3 理解二次函数的图象与二次方程的根的分布，韦达定理的联系，并能灵活应用。4 掌握一般分式函数y的图象与函数y的图象的联系。5 掌握求二次函数和分式函数的最大（小）值的方法。例1 画出函数y|x2x6|的图象，并求出此函数的单调区间。 解：方程x2x60的解是x12, x23,当x3时，x2x60, 当2x3时,x2x60.函数的图象如右图。当x(，2)时，函数y|x2x6|是减函数；当x(2，)时, 函数y|x2x6|是增函数；当x(, 3)时, 函数y|x2x6|是减函数;当x(3,
3、 )时，函数y|x2x6|是增函数。例2 设x1, x2是方程2x24mx(5m29m12)0的两个实数根，(1) 将x12x22表示为m的函数； (2) 求x12x22的最大值和最小值。 解：(1) 方程有两个实数根， 0, 16m28(5m29m12)0, 解得1m4, x12x22(x1x2)22x1x2m29m12, 其中1m4； (2) ym29m12, 对称轴为x4.5在区间1m4的右边， 函数的最大值是ymaxf (4)32, 函数的最小值是yminf (1)2 评注：求二次函数的最大值与最小值的问题，要注意原函数的定义域，分析抛物线的对 称轴是否在定义域内，且要比较定义域的两个
4、端点到对称轴的距离。例3 已知函数y4x24ax(a22a2)在区间0, 2上的最小值是3，求实数a的值。 解：函数y4x24ax(a22a2)的对称轴是x, (1) 当0, 2时,即 0a4时, 函数的最小值是抛物线的顶点纵坐标， ymin2a23，得a0, 2, 舍去；(2) 当0时, 即a0时，对称轴在区间0, 2的左边， yminf (0)a22a23, 解得a1, 又a2时, 即a4时，对称轴在区间0, 2的右边， yminf (2)a2a183, 解得a5, 又a4, a5.综上得a11或a25.三基本技能训练题： 1已知二次函数f (x)x2axb，满足f (1)f (2)0，则
5、f ()的值是（ A ）。（A） 3 （B） （C）1 （D）2 2已知f (x) (x1, x1)，则f (x)等于（ A ）。 （A） （B）f (x) （C） （D）f (x) 3若函数f (x)，则f 的表达式是。 4已知函数y，则它的值域是。 5下列四个命题中正确的是（ B ）。 （A）函数y3x4的最大值是4 （B）函数y(xa)2b的最大值是b (a, bR) （C）函数y的最小值是0 （D）函数yax2bxc的最大值是(a0)6 已知二次函数x2kx(k2)，其图象的对称轴是x2，那么它的最小值是 2 。7 函数的值域是 1，1。8 已知f (x2x)x42x3x21，则f f
6、 (x)的表达式是 x42x22。 四试题精选 （一）选择题： 1若二次函数yx2xm的图象总在x轴的上方，那么实数m的取值范围是（ B ）。 （A）0m （C）m （D）0m 2二次方程x2(a21)xa40有一个实根大于1，另一个实根小于1，则a的取值范围是（ C ）。 （A）（1, ） （B）（, 2） （C）（2, 1） （D）2, 1 3如果y，那么（ D ）。 （A）y最小值5 （B）y最小值 （C）y最大值5 （D）y最大值 4一个二次函数的顶点坐标是(, 25)，且它与x轴的两个交点的横坐标的立方和等于19，则这个二次函数的解析式是f (x)（ A ）。 （A）4x24x24
7、（B）4x24x24 （C）2x22x24 （D）2x22x25 5已知函数f (x)的定义域是4, 5，则函数f (x23)的定义域是（ B ）。 （A）1, （B）,11, （C）,) （D）(, ) 6 已知二次函数yax2axa (a0)，那么它的图象可能是（ A ）。 （A） （B） （C） （D） 7若方程x2(k1)x10有大于2的根，则实数k的取值范围是（C）。 （A）(, ) （B）(, （C）(, ) （D）, ) 8已知二次函数的对称轴为x2，它经过点(2, 3)，且与一次函数的图象交于点(0, 1)，而此一次函数的图象与y3x的图象平行，那么已知的二次函数的解析式是（A
8、）。 （A）f (x)x24x1 （B）f (x)x24x1 （C）f (x)x24x1 （D）f (x)x24x1 9抛物线yx2(m2)x5m与x轴的两个交点都在点(2, 0)的右方，则m的取值范围是（A）。 （A）(5, 4 （B）(, 4 （C）(, 2) （D）(, 5)(5, 4) 10若f (x)(m1)x22mx3是定义在(, )上的偶函数，那么f (x)在(0, )上（B）。 （A）是增函数 （B）是减函数 （C）部分增，部分减 （D）不能确定 （二）填空题： 11已知函数f ()x，则函数f (x)的表达式是。 12已知函数f (x)x2x1，则函数f f (x) x42x
9、32x2x1 。 13已知函数f (x)x22x3, x0, 则f(x) 。 14已知函数y (ab0), 则它的最小值是；最大值是。 （三）解答题： 15已知二次函数yx22axa21在0, 1上是减函数，问当a取何值时，函数y在0, 1上的值满足y0恒成立。 解：二次函数yx22axa21的顶点为(a, 1), 它在(, a)上为减函数，a1, 又函数y在0, 1上的值满足y0恒成立， 最小值f (1)0, f (1)12aa210, a2或a2. 16设二次函数yf (x)满足f (x2)f (x2)且图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段的长为2，求yf (x)的解析表达式。 解：
10、二次函数yf (x)满足f (x2)f (x2)， yf (x)的对称轴为x2, 由函数图象在y轴上的截距为1， f (0)1， 函数图象在x轴上截得的线段的长为2， 它与x轴的交点为(2, 0)和(2, 0), 设f (x)a(x2)(x2), 将f (0)1代入，解得a, f (x)x22x1 17求函数y的值域。 解：将函数y整理化简得2ycosysin20, 引入辅助角得 sin()y2, 1, 化简得3y24y30, y. 18已知函数y2x22ax3在区间1, 1上的最小值是f (a)，(1) 求函数f (a)的解析表达式；(2) 求函数g(a)logf (a)的单调区间。 解：(1) y2(x)23, 当a2时, y在区间1, 1上递减，最小值为f (1)2a5; 当2a2时, y在区间1, 1上的最小值为3； f (a) (2) f (a)0, 当a2时, 2a5为递增，f (a)为递减； 当2a时, 52a为递减，f (a)为递增； 当2a0时, 3为递增，f (a)为递减； 当0a2时, 3为递减，f (a)为递增。用心 爱心 专心
