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1、第二章 函数的应用举例教材分析二http:/www.DearEDU.com一、教学任务的分析1函数的应用是函数内容里的一个重要方面学生学习函数的应用，目的就是利用已有的函数知识分析问题解决问题在初中学习了一次函数、二次函数和反比例函数的基础上，本章又学习了指数函数和对数函数，这就为学生函数的应用奠定了一定的知识基础通过函数的应用，对学生完善函数的思想、激发应用数学的意识、培养分析问题解决问题的能力、增强进行实践的能力等，都有很大的帮助2例2作为函数的应用举例这一节的一个主要内容，它源于实际，取材于学生身边的买房和购车，背景又是学生熟悉的消费贷款解答该题和解答教科书中的许多函数应用题一样，都需要
2、经历一个建立函数模型并利用所得模型解决问题的过程但是，由于该题的信息量大、变量多，需要筛选（特别是两个还本付息表有较多的干扰因素，这与过去要用到几个量已知条件就有且只有几个量的题就完全不同），且建模的方向不明，在推理、计算和对问题的回答上都有一定的难度，学生难以直接通过题目得到暗示，从而到一条解决问题的途径，所以在解决问题的过程中一定会遇到不少困难然而，正因为如此，例2才更贴近实际，才更有可能让学生参与到深层的思维和推理活动中去，才更能体现数学建模的思想，也才更具有挑战性和探索、研究的价值3例2是本小节第二堂课的内容，通过上一堂课对例1和练习、习题中部分问题的解决，学生已经初步学习了用数学模型
3、方法解决问题在此基础上，根据问题的实际情况，例2的教学就应着眼于学生可能遇到的困难，围绕建立函数模型并利用模型解决问题这一重点展开这样，课堂教学活动就可以依据下列环节来设计： 抽象概括函数模型实际问题推理演算还原说明函数模型的解实际问题的解在以上每一个环节的具体教学活动中，教师都要力求自始至终保持让学生“做数学”的认知要求，从教师和学生两方面来组织和实施解决例2问题的双边活动，从而达到函数应用的目的二、教学情景的设计每一位学生都清楚，这堂课就是要解决例2的问题通过上一堂课的教学，学生应该了解了用数学模型方法解决问题的步骤，教师就应当按照这条主线来设计教学任务但考虑到学生认知发展水平的不同，可能
4、依然会有部分学生没有将这些步骤内化，使得他们在解决问题时不知所措对此，教师要有充分的准备，使教学情景的设计建立在学生可能遇到的困难之上，以此引导学生按照这些步骤去解决问题，从而进一步地提高对问题解决的认识，而不应该事先告诉学生将要做什么，甚至教他怎么去做 1尝试回答题目中的问题 学生一开始就会主动地阅读题目，迫切地想了解问题情景教师可以借此鼓励学生尝试回答题目中的问题，以激发学生探索的热情（1）阅读题目题目信息量大，要留给学生一定的阅读时间教师可以通过下列问题来了解学生对题意的理解1）你认为题目要解决的问题是什么？学生可能会有下列不同的回答：A为该家庭设计一个尽快购到车和房的合理贷款方案；先购
5、房后买车快，还是先买车后购房快；建立函数模型来选择贷款方案，等不同的回答反映了对题意理解的不同层次2）你能解决你的问题吗？教师可以让学生尝试回答自己认为需要解决的问题，当学生陷入困境时，让他们进行讨论，在交流中将学习引向建立函数模型的思考上思维遇到障碍就会渴望帮助，但教师不能包办代替3）究竟我们现在需要去解决哪个问题？此时，学生看到了需要解决的数学问题从实际中提出数学问题是由学生完成的，这就是一种数学意识的培养（2）尝试建立函数关系式，帮助正确地选择方案学生的思考再次陷入困境，应让他们展开讨论，相互得到启发教师从中了解学生对问题认识的情况 2将实际问题概括为函数模型学生要通过下列活动来达到对这
6、一任务的认识和实施（1）带着问题审题根据学生讨论中暴露出来的困难，引导学生围绕如何建立函数关系式这一问题，从题目中获取所需信息当明确了实际问题转化的方向后，带着数学问题积极地去题目中扑捉所需的信息才是有效的审题1）题目中哪些信息对你建立函数关系式有帮助？当教师为学生搭了这个“脚手架”之后，学生就能够主动地从题目中提取有关的数据，发现存在的变量由学生去建立变量、常量与函数关系式的联系，保持了高水平的认知要求2）能不能把你获取的信息归归类？由于学生的分类标准不同，他们可能会作出如下分类：变量与常量，买车与购房数据，汽车与住房消费贷款数据，积蓄、收入与支出，等对信息的检索与整理，拉近了与函数关系式的
7、距离，为后面的推理提供了方便，其中蕴含着分类的思想3）应该从哪一类信息中寻找函数？让学生发表不同的意见，在对比中达成共识学生发表意见，就会有高水平行为的示范，这就使得教学任务从组织到实施都保持着较高的认知水平；从形成个人意见，到对比不同意见，再到达成共识，就是一个概括的具体过程4）建立哪个变量的函数对选择方案有利？它是随着哪个变量的变化而变化的？这个问题也许是学生自己提出来的，因为此时他们急切地想建立起这个函数关系式能否购房买车，关键要看家庭积累的资金够不够，找到家庭积累资金与时间的等量关系自然就变成了他们自己确立的下一阶段的任务通过教师在学生原有的认知基础上不断地搭“脚手架”，学生始终保持着
8、高水平的认知活动，并在积极的思维过程中发现问题内在的联系，函数关系式开始浮出水面 （2）建立方案一中家庭积累资金关于时间的函数关系式只要能解决其中的一个方案，另一个方案就不再难了不妨先让学生解决方案一要留给学生适量的思考时间，并让他们把想法告诉大家然后，在教师的引导下，将大家的思路进行整理，逐渐得出建立函数关系式的如下几个步骤先由教师将问题分解为若干个子问题后再让学生去解决（即先告诉学生要做什么只需做什么，然后再让学生倒过来做），和先由学生发现解决问题所涉及到的若干个子问题再在教师引导下去解决，这两者的认知要求是不同的前者的认知要求没有保持在“做数学”的水平，教师要求学生用教师认为是最正确的方
9、法去得到正确答案，学生未能探究问题情景，也未能思考多种解题策略，从而使教学任务的实施处于“无联系的程序”水平；而后者则不同，学生是先通过对问题情景的亲身探究，自己提出解题策略，然后才在教师的引导下形成合理的解题方法，教学任务的实施自始至终都保持在“做数学”的认知要求水平上 1）选择贷款期限，并计算出首付房款后家庭的剩余资金根据表1、表2学生容易想到，贷款期限越长，每月的还款数就越少，家庭的积累资金就增长得越快，于是就能尽快购房买车，所以住房贷款选30年期容易算得，按70的比例可贷住房款21万元，首付30后家中还剩资金1万元2）建立买车前的家庭积累资金y关于买车时间x的函数关系式只有得到买车前的
10、家庭积累资金y关于买车时间x的函数关系式后，才有可能知道何时有资金买车通过审题，这一点学生是能够想到的在建立函数关系式时，应该反映出学生由一个实际的等量关系式转化为一个抽象的函数关系式的过程 购房后买车前增加的资金（月收入月正常开支月偿还购房贷款）买车时间买车前的积累资金购房后的剩余资金 y = 1 + (0.50.15210.005728) x ，即 y =1+0.229712x, (x N) 得到实际的等量关系并将其转化为数学模型，是数学建模的核心，是抽象概括能力的具体体现3）建立首付汽车款y关于买车时间x的函数关系式只有再得到首付汽车款y关于买车时间x的函数关系式后，才能求出买车后的结余
11、资金，从而最终了解何时有资金能力买车然而，能考虑到首付汽车款是一个影响资金积累的变量，并通过建立函数关系式将其纳入资金积累的函数关系式中，对学生来说可能是一个困难教师可以让学生讨论，“根据买车前的家庭积累资金y关于买车时间x的函数关系式，能否算出何时有能力买车？”若学生认为求出y0时的x值即为所求，则再让他们讨论，“此时的首付车款是多少？”让学生在计算中发现自己认识上的不足，从而建立多个量之间的联系认识的提高是一个循环往复螺旋上升的过程由于车价每月都在下降，所以首付车款y就存在一个关于买车时间x的函数关系式，即 y = 30%15(11%)x ，亦即 y = 4.50.99x (xN) 4）建
12、立刚买车后家庭的结余资金y1关于买车时间x的函数关系式刚买车后的结余资金买车前的积累资金 首付车款 y1 = 1+0.229712x 4.50.99x ， 即 y1= 4.50.99x +0.229712x+1 (xN)学生也许会想，求出y10时的x值就应该是买车的最早时间了这是教学过程的一个转折点，应该给学生适量的时间讨论在学生难以发现存在的问题时，教师不能因此而降低认知要求，应再次为学生搭“脚手架”，让学生思考，“买车后家庭还能维持正常的开支吗？”以此来启发大家当学生发现了决策存在的漏洞时，会真正感觉到方案选择的复杂和难度此时最需要教师做的是鼓励大家，因为这离问题的解决只有一步之遥由于解决
13、问题的途径不可预见，学生会有不同程度的焦虑，这就需要他们有相当大的认知努力，并在任务的完成过程中对自己的认知过程进行自我调控这样才能保持高水平的认知要求5）建立买车后月支出y关于买车时间x的函数关系式由于买车后的月支出所包含的几个量中，只有月偿还汽车贷款是变量，而它是与买车时间有关，所以函数关系式中的自变量应为买车时间对此，可以让学生在建立函数关系式的过程中得到认识 买车后的月支出月偿还汽车贷款月偿还住房贷款月正常开支购车增加的月开支 y = 0.01934770%15(11%)x + 210.005728 + 0.15 + 0.1 ,即 y =0.2031440.99x+0.370288 (
14、xN) 6）建立还清汽车贷款时的家庭结余资金y2关于买车时间x的函数关系式买车后还清汽车贷款前共增加的资金汽车贷款时间 （月收入买车后的月支出）还清汽车贷款时的结余资金刚买车后的结余资金 y2 = y1 + 60 0.5(0.2031440.99x+0.370288) , 即，y2 = 16.688640.99x+0.229712 x +8.78272 (xN)至此，就得到了解决问题所需的函数3利用所得函数关系式求方案一买车所需的最短时间学生从前面的分析已经认识到，y10时的x值只说明了何时有资金能力买车，而最快买车的时间应该是由y2 0时的x值来确定要认识到这一步是有困难的教学中，可以让学生利用信息技术工具进行实验，当他们通过自己的探索获得结果后，就能加强对问题的理解（1）求出y10时的x值如何求出y10时的x值，这对学生来说又是一个挑战教师应想到学生可能采取的策略：1）通过解方程4.50.99x +0.229712x+10求x的值；2）通过图形计算器或计算机中相应软件的解方程功能直接求出x的值；3）通过图形计算器或计算机中相应软件的作图功能，作出函数y1= 4.50.99x +0.229712x+1和y=0的图
