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1、第一章 第五节一元二次不等式解法教材分析http:/www.DearEDU.com 一、教学任务的分析 1一元二次不等式解法是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，由于它是高中数学的重要基础，而且也有非常广泛的应用，所以本节内容的教学在中学数学教学中具有重要的地位将本节内容设置在第一章里，一方面是为了让学生在学完集合后能有所应用；另一方面是为后续的知识学习作铺垫 2本小节的目的要求是掌握一元二次不等式的解法要掌握一元二次不等式的解法，主要就是要掌握利用二次函数图象寻找一元二次不等式解集的方法，而要掌握这一方法则又要先了解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系所以，如何让学生建立这三
2、者之间的联系便成了本节教学设计的关键，自然也就是本节内容教学的重点由于建立这三者之间联系的实质就是要能利用数形结合的思想去具体地进行分析和思考，将方程的解、不等式的解集与函数图象上对应点的坐标相互转化由于初中没有专门研究过这类问题，这很可能会成为学生学习的一大困难为了解决这一困难，在教学设计上的一种方案是，在上一节数学实验的基础上，充分利用信息技术的优势，让学生进一步探索一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系这样处理，需要学生在上一节实验中达到较高的目标层次，以及是否能通过具体问题的解决形成方程、不等式与函数关系的一般性认识由于这是学生首次利用信息技术进行实验，加之教科书在实现上一节的目
3、的要求上，并不是利用函数图象来寻找绝对值不等式的解集，所以就不能在实验中对学生提出太高的目标层次要求，并要把握好对学生在该实践活动中的概括能力的要求另一种方案是，在初中已初步建立起的方程与函数思想的基础上，借助信息技术工具，先建立已学过的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，再建立一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系这样处理，由于学生对建立前三者的关系有相对坚实的认知基础，加之知识难度不高，所需的思维层次相对不高，所以学生较易由具体问题概括出一般性的规律，形成利用函数图象寻找不等式解集的思想方法在此基础上，将所获得的知识迁移到一元二次不等式解法上会相对容易一些但是，教学的内容就
4、要增加，教学的效益就会相对降低所以，要根据学生的认知水平、利用信息技术认识相关知识的程度等实际，来具体选择教学设计的方案二、教学情景的设计这里不妨以教学设计的第二方案为例复习一次函数、二次函数了解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系了解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系掌握一元一次不等式解法1本小节的教学从学生原有的认知基础出发，遵循由易到难的原则，先让学生了解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系由于这三者的关系具有一定的抽象性，在帮助学生了解它们的关系时，应该创设一个由特殊到一般的教学情景可以先将问题提出，“一元一次方程、一元一次不等式与一次函数有什么关系？”以此激
5、发学生的求知欲，让学生进行积极的思考在学生产生困惑时，再将问题具体化，“方程2x70、不等式2x70（或0）与函数y 2x7有什么关系？”在教师这样的引导下，学生自然就会针对所提出的具体例子进行积极的探索学生探索的目的是建立方程、不等式与函数的一般关系，而不仅仅是解决具体的问题所以例子的选取既要考虑到要有一般性，又要避免因繁杂运算和技术处理困难而淡化了重点，影响了目标的实现利用教科书中的函数y 2x7作为例子，就能达到上述要求在此教学环节中，要以学生的自主探索研究和相互讨论为主，教师可以引导学生利用图形计算器或计算机作出函数的图象，显示图象上的点及其坐标，并通过移动点来观察坐标的变化在此基础上
6、，先让学生建立图象上的点、点的坐标与方程的解之间的联系，再由简单到复杂，建立它们与不等式解集之间的联系接着，可以再举几个实例让学生进行实验，进行观察和思考，从而概括出，由一次函数图象及其与x轴的交点就可以确定对应的一元一次不等式的解集2在学生了解了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系的基础上，再引导学生通过类比，在探索研究中概括出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系由于此教学环节所要达到的目的要求和上一环节在本质上一致，所以此教学环节的设计就可以和上一环节的设计类似依然是创设一个由特殊到一般的教学情景，先将问题提出，让学生投入思考，再将问题具体化，在教师这样的引导下，由学生针对
7、所提出的具体问题进行积极的探索依然是选取教科书中的例子，做到简洁并具有一般性在技术手段的选取、教学方式的运用、对学习过程的监控和对教学的评价上，同样采取和上一环节类似的设计在教学程序的安排上，坚持由特殊到一般的原则的同时，先探索抛物线的一种位置情况，再在图象移动的过程中探索各种位置的情况；由易到难，先分析方程的解与函数图象的关系，再分析不等式的解集与函数图象的关系同样是让学生通过反复的实验，进行观察和思考，从而概括出，由二次函数图象及其与x轴的交点情况就可以确定对应的一元二次不等式的解集3教学中，例题的选取主要立足于教科书，因为教科书中的例题各有不同的针对性，彼此又具有一定的互补性，能够起到进
8、一步完善学生思维的作用例1和例3不需要整理便可以直接求解，例2和例4则需要整理后才能求解；例1和例2对应的函数图象与x轴的相对位置关系属于同一类，而例3和例4则属于另两类；在寻找不等式的解集及解集的表示上，四道例题则各不相同所以，教师可以利用例题来对学生的学习情况进行评价，并以此及时调控教学在例题的教学中，要立足在函数图象上寻找不等式的解集对不同层次的学生，在利用函数图象的要求上可有所区别，可以不具体作出图象，而通过想象进行分析；也可以在图形计算器或计算机上作出的图象上进行分析；还可以在用纸笔作出的图象上进行分析教师可根据学生存在的问题，补充一些有针对性的例题或练习；也可提供一些有一定综合性的
9、或技术探索性的例题或练习给学有余力的学生三、使用信息技术的设想1了解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系是本节学习的第一个困难，而困难又主要表现在，学生难以将函数图象上的点与方程的解、不等式的解集联系起来，从而发现它们内在的关系解决这一困难的方法可以是，利用计算机或图形计算器中相应软件的特殊功能，让学生自己作出教科书中一次函数的图象，然后跟踪图象上的点，同时显示这些点的坐标，并引导学生理解图象上点的坐标在对应的方程和不等式中的意义这时，再让学生在图形计算器或计算机上任意地移动图象上的点，同时观察这些点对应坐标的变化，特别注意纵坐标分别大于0、等于0和小于0时点的位置，和此时横坐标的大小
10、这样，学生便能了解一元一次方程的解、一元一次不等式的解集与一次函数图象上点的坐标的内在联系接下来，再让学生任意地作出几个函数的图象，并进行同样的观察和思考学生就能发现不同的函数与对应的方程、不等式却具有相同的内在关系，从而概括出一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的一般关系2了解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系是本节的重点，也是最大的难点由于学生有了对一次关系的认知基础，加之两种关系在本质上都是相同的，所以就可以采用相同的信息技术手段，通过类比来认识二次的关系但是，二次的问题较一次的问题复杂，例如函数yx2x6的图象与x轴有两个交点，但函数yx2x025的图象与x轴就只有一个交点
11、，而函数yx2x2的图象与x轴就没有交点，它们相对于x轴的位置关系就各不相同学生在寻找这些函数分别对应的方程的解和不等式的解集时，就可能再次遇到困难为了解决这一困难，在研究了函数yx2x6与其对应的方程、不等式的关系后，还有必要再利用信息技术手段来研究与x轴位置关系不同的其它函数的情况为了更好地解决这一困难，教学可以采取两种不同的信息技术手段相结合的形式（1） 教师先在图形计算器或计算机上，用“几何画板”软件来制作能上下移动的二次函数图象要能寻找不同的二次函数对应的方程的解和不等式的解集，只需研究与x轴分别有两个交点、一个交点、无交点的函数的情况所以，可以让学生观察函数yx2x6的图象上下移动
12、时，对应的方程的解和不等式的解集的变化用“几何画板”软件制作二次函数的图象，就可以很好地实现上述目标（2） 学生再用图形计算器中的“Y”编辑器分别作不同位置的二次函数的图象可以给出三个不同位置的函数，如y x2x6， y x2x025和y x2x2，让学生用图形计算器中的“Y”编辑器分别作出它们的图象；也可以让学生用图形计算器中的“Y”编辑器任意地作出不同的二次函数图象然后让学生在寻找这些不同函数对应的方程的解和不等式的解集的过程中，进行对比，最后归纳出寻找不等式解集有与对应函数图象位置有关的三种情况 对比以上两种信息技术手段，使用“几何画板”软件制作能上下移动的二次函数图象，利于全面反映函数
13、的变化导致图象位置的改变，从而引起寻找对应方程的解和不等式的解集的变化但在软件使用的技术上有一定的要求，制作过程也较为复杂最好是由教师课前作好后，在课堂上给学生进行演示，不宜让学生在课堂上来完成对此图象制作感兴趣的学生，可指导他们在课后学习完成而使用图形计算器中的“Y”编辑器来作二次函数的图象，则方便快捷，适于学生在课堂中运用，利于学生自主探索但所作的函数图象不能移动变化，这就可能导致学生所作的有限的几个函数图象不能全面反映各种位置情况的弊病所以，在教学时，应将两种信息技术手段结合使用四、整合信息技术后对教与学带来的影响传统教学由于受技术条件的限制，在处理方程、不等式与函数的关系时，一般是出示
14、一个具体的函数图象，并以列表的形式由教师或教科书直接给出两个变量的几组对应值，然后就结合图象对数表进行分析，从而分别得到y 0、 y 0、 y 0时x的不同取值情况，进而总结出方程、不等式与函数的关系而对不同位置的二次函数图象对应的不等式解集的讨论，则直接按方程的判别式0，0，0分为三种情况在这样的教学过程中，就存在着一系列的问题：表格中的这几组对应值是怎么来的? 如果换成另外几组对应值还能得到同样的结论吗? 怎样由给出的对应值表与图象得到方程的解和不等式的解集? 是如何想到按方程的判别式0，0，0的三种情况， 来讨论对应的不等式的解集?正因为这些问题的存在，就使得学生对结论的正确性产生怀疑，
15、学习过程比较被动，不利于数学思维活动的展开，也不利于数学思想方法的掌握而在信息技术环境中，教师可以引导学生利用技术工具的强大功能，较好地解决上述问题学生可利用技术工具的函数作图功能，便捷地作出各个函数的图象，然后用技术工具的追踪功能，随心所欲地将图象上逐个的点及其坐标同时显示出来（而不拘于教科书的表中指定的几组对应值）学生能够在这样反复多次的实验中进行观察和思考，自己发现规律，主动地建立起点坐标变量的对应值解（或解集）的链接另外，学生还可以观察到，随着二次函数图象的上下移动，对应方程的解和判别式的值都在同步地发生着变化，从而让学生自己划分出三种类型去讨论不等式的解集在这样的教学过程中，学生对问题的认识，不是教师强加的，而是在自主的探索活动中获得的，教师的主导作用和学生的主体作用都得到了充分体现在这样的认知环境中，操作、试验、猜想、发现等过程都变得具体而清晰，尝试错误的成分大大减少，数学思维的目的性大大增强，数学推理的逻辑基础更加稳固，数学思考的程序性也大大增强，这就大大增加了学生通过自主的、积极主动的数学思维而成功地建构数学概念、解决数学问题的可能性用心 爱心 专心 115号编辑 4
