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1、第2课时 直线与直线的位置关系基础过关(一)平面内两条直线的位置关系有三种_1当直线不平行坐标轴时,直线与直线的位置关系可根据下表判定直线条件关系l1:yk1xb1l2:yk2xb2l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20平行重合相交(垂直)2当直线平行于坐标轴时,可结合图形判定其位置关系(二)点到直线的距离、直线与直线的距离1P(x0,y0)到直线AxByC0 的距离为_2直线l1l2,且其方程分别为:l1:AxByC10 l2:AxByC20,则l1与l2的距离为 典型例题例1. 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,(1)试判断l1与l2是否
2、平行;(2)l1l2时,求a的值.解(1)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a1且a0时,两直线可化为l1:y=-3,l2:y=-(a+1),l1l2,解得a=-1, 综上可知,a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行. 方法二 由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-12=0,由A1C2-A2C10,得a(a2-1)-160, l1l2a=-1, 故当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.(2)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故
3、a=1不成立.当a1时,l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),由=-1a=. 方法二 由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0a=.(4)当 = 且5= 时,即a=2且b=10或a= 2且b=10时,两直线重合例2. 已知直线l经过两条直线l1:x2y0与l2:3x4y100的交点,且与直线l3:5x2y30的夹角为,求直线l的方程解:由解得l1和l2的交点坐标为(2,1),因为直线l3的斜率为k3,l与l3的夹角为,所以直线l的斜率存在. 设所求直线l的方程为y1k(x2)则tan1k或k,故所求直线l的方程为y1(x2)或y1(x2)即7x3y110或3x7y130变式训练2
4、. 某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线l,且点P在直线l上,l与水平地面的夹角为,tan=.试问,此人距水平地面多高时,观看塔的视角BPC最大(不计此人的身高)?解 如图所示,建立平面直角坐标系,则A(200,0),B(0,220),C(0,300).直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=.设点P的坐标为(x,y),则P(x, )(x200).由经过两点的直线的斜率公式kPC=,kPB=.由直线PC到直线PB的角的公式得tanBPC= (x200).要使tanBPC达到最
5、大,只需x+-288达到最小,由均值不等式x+-2882-288,当且仅当x=时上式取得等号.故当x=320时,tanBPC最大.这时,点P的纵坐标y为y=60.由此实际问题知0BPC,所以tanBPC最大时,BPC最大.故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角BPC最大.例3. 直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线,若A、B坐标分别为A(4,2)、B(3,1),求点C的坐标并判断ABC的形状解:因为直线y2x是ABC中C的平分线,所以CA、CB所在直线关于y2x对称,而A(4, 2)关于直线y2x对称点A1必在CB边所在直线上设A1(x1,y1)则 得即A1(4, 2)由A1(4,
6、2),B(3, 1)求得CB边所在直线的方程为:3xy100又由 解得C(2, 4)又可求得:kBC3,kACkBCkAC1,即ABC是直角三角形变式训练3.三条直线l1:x+y+a=0,l2:x+ay+1=0,l3:ax+y+1=0能构成三角形,求实数a的取值范围。解:aR且a1,a-2(提示:因三条直线能构成三角形,故三条直线两两相交且不共点,即任意两条直线都不平行且三线不共点。(1)若l1、l2、l3相交于同一点,则l1与l2的交点(-a-1,1)在直线l3上,于是a(-a-1)+1+1=0,此时a=1或a= -2。(2)若l1l2,则-1 = - ,a=1。(3)若l1l3,则-1 =
7、 - a,a=1。(4)若l2l3,则- = -a,a= 1。)例4. 设点A(3,5)和B(2,15),在直线l:3x4y40上找一点p,使为最小,并求出这个最小值解:设点A关于直线l的对称点A的坐标为(a,b),则由AAl和AA被l平分,则解之得a3,b3,A(3,3)(|PA|PB|)min|AB|5kAB18AB的方程为y318(x3)解方程组得P(,3)变式训练4:已知过点A(1,1)且斜率为m(m0)的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点,过P、Q作直线2xy0的垂线,垂足分别为R、S,求四边形PRSQ的面积的最小值解:设l的方程为y1m(x1),则P(1,0),Q(0,1m)从则直
8、线PR:x2y0;直线QS:x2y2(m1)0 又PRQS | RS |又| PR |,| QS |而四边形PRSQ为直角梯形, SPRSQ()(m)2(2)23.6 四边形PRSQ的面积的最小值为3.6小结归纳1处理两直线位置关系的有关问题时,要注意其满足的条件如两直线垂直时,有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直2注意数形结合,依据条件画出图形,充分利用平面图形的性质和图形的直观性,有助于问题的解决3利用直线系方程可少走弯路,使一些问题得到简捷的解法4解决对称问题中,若是成中心点对称的,关键是运用中点公式,而对于轴对称问题,一般是转化为求对称点,其关键抓住两点:一是对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中点在对称轴上,如例47用心 爱心 专心